pierwiastki równania
pierwiastki równania
Ile pierwiastków ma równanie \(\displaystyle{ f(z)=z ^{4}-5z+1=0}\) w kole \(\displaystyle{ \left| z\right|<1}\)?
-
liu
- Użytkownik
- Posty: 1330
- Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów
- Pomógł: 104 razy
pierwiastki równania
Przypomnijmy sobie twierdzenie Rouchego: Jezeli \(\displaystyle{ g(z),h(z)}\) sa funkcjami analitycznymi w obszarze ograniczonym konturem \(\displaystyle{ C}\) i spelniaja na tym konturze oszacowanie \(\displaystyle{ |g(z)|<|h(z)|}\), to \(\displaystyle{ g(z)+h(z)}\) ma wewnatrz obszaru tyle samo zer co \(\displaystyle{ h(z)}\).
Oznaczmy sobie
\(\displaystyle{ g(z) = z^4, h(z) = -5z+1}\).
Wówczas na okręgu \(\displaystyle{ |z|=1}\) mamy
\(\displaystyle{ |h(z)| = |-5z+1| \geq 5|z| - 1 = 4}\)
\(\displaystyle{ |g(z)| = 1}\)
Stąd \(\displaystyle{ |g(z)| < |h(z)|}\) na tymże okręgu, zatem z twierdzenia Rouchego funkcja \(\displaystyle{ f(z) = g(z)+h(z)}\) ma tyle samo zer w kole \(\displaystyle{ |z|<1}\), co \(\displaystyle{ h(z)}\). Latwo zauwazyc, ze \(\displaystyle{ h}\) ma tam jedno zero w punkcie \(\displaystyle{ z = -1/5}\), zatem finalnie rozważane przez nas równanie ma w kole jeden pierwiastek.
Oznaczmy sobie
\(\displaystyle{ g(z) = z^4, h(z) = -5z+1}\).
Wówczas na okręgu \(\displaystyle{ |z|=1}\) mamy
\(\displaystyle{ |h(z)| = |-5z+1| \geq 5|z| - 1 = 4}\)
\(\displaystyle{ |g(z)| = 1}\)
Stąd \(\displaystyle{ |g(z)| < |h(z)|}\) na tymże okręgu, zatem z twierdzenia Rouchego funkcja \(\displaystyle{ f(z) = g(z)+h(z)}\) ma tyle samo zer w kole \(\displaystyle{ |z|<1}\), co \(\displaystyle{ h(z)}\). Latwo zauwazyc, ze \(\displaystyle{ h}\) ma tam jedno zero w punkcie \(\displaystyle{ z = -1/5}\), zatem finalnie rozważane przez nas równanie ma w kole jeden pierwiastek.