Interpretacja geometryczna modułu

[wiskitki]

No więc mam problem z takimi dwoma przykładami:
1. \(\displaystyle{ |(2+i)z-3|\ge 2}\)
2. \(\displaystyle{ |z-7|\le |z-6i|}\)

W pierwszym nie umiem tego przekształcić tak, żeby mieć \(\displaystyle{ |z-(a+bi)|\ge c}\) i narysować okrąg o promieniu \(\displaystyle{ c}\) i środku \(\displaystyle{ a+bi}\). Rozwiązałem to jak zwykłą nierówność modułową i wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{i-2}{5}\le z\le 2-i}\), ale to chyba jest źle, bo nie wiem czy mogę sobie podzielić obustronnie przez \(\displaystyle{ 2+i}\)
> A w drugim doszedłem tylko do tego, że \(\displaystyle{ |z-(7+0i)|\le |z-(0+6i)|}\), więc mamy dwa okręgi, ale nie wiadomo o jakich promieniach. Może ktoś ma pomysł

[MarkoseK]

Przede wszystkim liczby zespolone nie są uporządkowane w sposób jaki znamy z liczb rzeczywistych (ale ich moduły są już liczbami rzeczywistymi i je możemy porządkować).

Do takich obliczeń wykorzystuje się jedną z definicji modułu, mianowicie:
\(\displaystyle{ |a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}}\)

Jeżeli z jest u Ciebie również zespolone, to proponuje je rozpisać na część rzeczywistą i urojoną, z taką postacią nic pod modułem nie zrobisz.

[liu]

W pierwszym przykładzie można również skorzystać z faktu, że \(\displaystyle{ |zw|=|z|\cdot |w|}\) dla \(\displaystyle{ z,w\in\mathbb{C}}\). Wówczas
\(\displaystyle{ | (2+i)z - 3| = \left| (2+i)\left(z - \frac{3}{2+i}\right) \right| = |2+i| \left| z - \frac{3}{2+i}\right|}\).

[lukaszm89]

W drugim załóż \(\displaystyle{ z\not =6i}\), podziel stronami, potem iloraz modułów to moduł ilorazu, podziel liczby zespolone i trick jak w pierwszym podał liu,czyli wyciągnij to co stoi przy \(\displaystyle{ z}\) przed moduł

[wiskitki]

Zrobiłem tak jak mówisz, otrzymałem \(\displaystyle{ \left| \frac{z-7}{z-6i} \right|\le 1}\), a potem usuwam niewymiernośći zostaje \(\displaystyle{ \left| \frac{z^2+6iz-7z+42}{z^2+36} \right|}\)
I jak teraz pozbyć się \(\displaystyle{ z}\) z mianownika?

[lukaszm89]

Powinieneś podzielić i pomnożyć przez \(\displaystyle{ \overline{z-6i}=\overline{z}+6i}\), wtedy w mianowniku masz \(\displaystyle{ \left| z^2\right|+36}\), ale chyba coś źle powiedziałem bo nie mam pojęcia co dalej ,przepraszam.

Już wiem. podnosisz do kwadartu i korzystasz z tego, że \(\displaystyle{ \left| z\right|^2=z\overline{z}}\). Potem masz już liczby rzeczywiste, wyjdzie Ci kawałek płaszczyzny, zaraz wrzucę pełne rozwiązanie.

\(\displaystyle{ \left[ z-7\right]\leq\left[ z-6i\right]\iff (z-7)(\overline{z}+7)\leq(z-6i)(\overline{z}+6i) \\
\iff(z\overline{z}-7z-7\overline{z}+49)\leq z\overline{z}+6iz-6i\overline{z}+36\\
\iff-7(z+\overline{z})+49\leq 6iz+\overline{6iz}+36\iff-7\cdot 2Rez+13\leq -6\cdot 2Imz\\
\iff 12Imz-14Rez\leq13}\)