1. W Zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie
\(\displaystyle{ x^{2}-2x+2=0}\)
( niby to prościzna ale proszę o dokładne rozwiązanie )
2. Obliczyć wartość podanego wyrażenia i zapisać wynik w postaci algebraicznej
\(\displaystyle{ (\frac{1+\sqrt{3}i}{1-\sqrt{3}i})^{30}}\)
i wynik z tego zapisać w postaci algebraicznej .. niby jak ?
_____________
Nie stosuj słów typu "Pomocy" w temacie!
jasny
Równanie, wartość wyrażenia
-
Azazell
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 14 sty 2007, o 23:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
Równanie, wartość wyrażenia
Ostatnio zmieniony 24 lut 2007, o 08:50 przez Azazell, łącznie zmieniany 1 raz.
-
Maniek
- Użytkownik
- Posty: 841
- Rejestracja: 11 paź 2004, o 15:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Będzin | Gliwice
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 79 razy
Równanie, wartość wyrażenia
1.)
\(\displaystyle{ \Delta=-4 2i}{2}=1\pm i}\)
\(\displaystyle{ \Delta=-4 2i}{2}=1\pm i}\)
Ostatnio zmieniony 24 lut 2007, o 09:34 przez Maniek, łącznie zmieniany 2 razy.
-
aikon
- Użytkownik
- Posty: 450
- Rejestracja: 2 gru 2005, o 17:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 48 razy
Równanie, wartość wyrażenia
1.
\(\displaystyle{ x^2 -2x +2 = 0 \\
\Delta = 4 - 8 = -4 \\
\sqrt{\Delta} = 2i \\
x_1 = \frac{2 - 2i}{2} = 1-i \\
x_2 = \frac{2 + 2i}{2} = 1+i}\)
To by było na tyle.
[ Dodano: 24 Luty 2007, 09:53 ]
2.
Przyjmujesz:
\(\displaystyle{ 1+\sqrt{3}i = z_1\\
1- \sqrt{3}i = z_2}\)
I przekształcasz każdą z nich w postać trygonometryczną:
\(\displaystyle{ z = r(\cos\phi + i \sin\phi)}\)
gdzie r to moduł a fi to argument.
Wyznaczasz więc argument i moduł tych liczb:
\(\displaystyle{ |z_1| = 2 \\
|z_2| = 2 \\
\phi_1 = \frac{\pi}{3} \\
\phi_2 = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5 \pi}{3}}\)
Podstawiasz do postaci trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ z_1 = 2 (\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}) ) \\
z_1 = 2 (\cos(\frac{5 \pi}{3}) + i\sin(\frac{5 \pi}{3}))}\)
No ale masz policzyć iloczyn tych liczb podniesionych do potęgi 30-tej, wiec:
\(\displaystyle{ \frac{(1+\sqrt{3}i)^{30}}{(1-\sqrt{3}i)^{30}} = \frac{(2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}) ))^{30}}{(2(\cos(\frac{5 \pi}{3}) + i\sin(\frac{5 \pi}{3})))^{30}}}\)
A to się liczy tak :
\(\displaystyle{ \frac{(1+\sqrt{3}i)^{30}}{(1-\sqrt{3}i)^{30}} = \frac{2^{30}(\cos(\frac{30 \pi}{3}) + i\sin(\frac{30 \pi}{3}) )}{2^{30}(\cos(\frac{30 5 \pi}{3}) + i\sin(\frac{30 5 \pi}{3}))}}\)
Argumenty z przodu się skracają, a korzystając z tego, że sinus i cosinus są okresowe, to wiemy, że
\(\displaystyle{ cos(10\pi) = 1 \\
sin(10\pi) = 0 \\
cos (50 \pi) = -1 \\
sin(50\pi) = 0}\)
Czyli otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{(1+\sqrt{3}i)^{30}}{(1-\sqrt{3}i)^{30}} = \frac{1}{-1} = -1}\)
A jakbyś jeszcze to chciał zapisać w postaci trygonometrycznej, takiej o:
\(\displaystyle{ z = r(\cos\phi + i \sin\phi)}\)
No to moduł r wynosi 1, a kąt nietrudno wyznaczyć, rysując sobie tą liczbę na płaszczyźnie zespolonej. Widać, że \(\displaystyle{ \phi = \pi}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ -1 = 1 (\cos\pi + i\sin\pi )}\)
\(\displaystyle{ x^2 -2x +2 = 0 \\
\Delta = 4 - 8 = -4 \\
\sqrt{\Delta} = 2i \\
x_1 = \frac{2 - 2i}{2} = 1-i \\
x_2 = \frac{2 + 2i}{2} = 1+i}\)
To by było na tyle.
[ Dodano: 24 Luty 2007, 09:53 ]
2.
Przyjmujesz:
\(\displaystyle{ 1+\sqrt{3}i = z_1\\
1- \sqrt{3}i = z_2}\)
I przekształcasz każdą z nich w postać trygonometryczną:
\(\displaystyle{ z = r(\cos\phi + i \sin\phi)}\)
gdzie r to moduł a fi to argument.
Wyznaczasz więc argument i moduł tych liczb:
\(\displaystyle{ |z_1| = 2 \\
|z_2| = 2 \\
\phi_1 = \frac{\pi}{3} \\
\phi_2 = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5 \pi}{3}}\)
Podstawiasz do postaci trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ z_1 = 2 (\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}) ) \\
z_1 = 2 (\cos(\frac{5 \pi}{3}) + i\sin(\frac{5 \pi}{3}))}\)
No ale masz policzyć iloczyn tych liczb podniesionych do potęgi 30-tej, wiec:
\(\displaystyle{ \frac{(1+\sqrt{3}i)^{30}}{(1-\sqrt{3}i)^{30}} = \frac{(2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}) ))^{30}}{(2(\cos(\frac{5 \pi}{3}) + i\sin(\frac{5 \pi}{3})))^{30}}}\)
A to się liczy tak :
\(\displaystyle{ \frac{(1+\sqrt{3}i)^{30}}{(1-\sqrt{3}i)^{30}} = \frac{2^{30}(\cos(\frac{30 \pi}{3}) + i\sin(\frac{30 \pi}{3}) )}{2^{30}(\cos(\frac{30 5 \pi}{3}) + i\sin(\frac{30 5 \pi}{3}))}}\)
Argumenty z przodu się skracają, a korzystając z tego, że sinus i cosinus są okresowe, to wiemy, że
\(\displaystyle{ cos(10\pi) = 1 \\
sin(10\pi) = 0 \\
cos (50 \pi) = -1 \\
sin(50\pi) = 0}\)
Czyli otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{(1+\sqrt{3}i)^{30}}{(1-\sqrt{3}i)^{30}} = \frac{1}{-1} = -1}\)
A jakbyś jeszcze to chciał zapisać w postaci trygonometrycznej, takiej o:
\(\displaystyle{ z = r(\cos\phi + i \sin\phi)}\)
No to moduł r wynosi 1, a kąt nietrudno wyznaczyć, rysując sobie tą liczbę na płaszczyźnie zespolonej. Widać, że \(\displaystyle{ \phi = \pi}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ -1 = 1 (\cos\pi + i\sin\pi )}\)