Niech \(\displaystyle{ ~ \alpha ~}\) będzie pierwsiatkiem równania \(\displaystyle{ ~ (1+2x)e^{x}=x}\)
Pokaż że \(\displaystyle{ ~ -1<Re(\alpha)<0}\)
pierwiastek równania
-
octahedron
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
pierwiastek równania
\(\displaystyle{ \alpha=\alpha_1+i\alpha_2\\\\
\alpha_1>0:\\\\
\left| \left( 1+2\alpha\right) e^{\alpha}\right|=e^{\alpha_1}\sqrt{\left( 1+2\alpha_1\right)^2+4\alpha_2^2}>\sqrt{\alpha_1^2+\alpha_2^2}=|\alpha| \Rightarrow \left( 1+2\alpha\right) e^{\alpha}\ne \alpha\\\\
\alpha_1<-1:\\\\
\left| \left( 1+2\alpha\right) e^{\alpha}\right|=e^{\alpha_1}\sqrt{\left( 1+2\alpha_1\right)^2+4\alpha_2^2}<e^{\alpha_1}\sqrt{4\alpha_1^2+4\alpha_2^2}=2e^{\alpha_1}\sqrt{\alpha_1^2+\alpha_2^2}<\sqrt{\alpha_1^2+\alpha_2^2}=|\alpha| \Rightarrow \left( 1+2\alpha\right) e^{\alpha}\ne \alpha\\\\}\)
\alpha_1>0:\\\\
\left| \left( 1+2\alpha\right) e^{\alpha}\right|=e^{\alpha_1}\sqrt{\left( 1+2\alpha_1\right)^2+4\alpha_2^2}>\sqrt{\alpha_1^2+\alpha_2^2}=|\alpha| \Rightarrow \left( 1+2\alpha\right) e^{\alpha}\ne \alpha\\\\
\alpha_1<-1:\\\\
\left| \left( 1+2\alpha\right) e^{\alpha}\right|=e^{\alpha_1}\sqrt{\left( 1+2\alpha_1\right)^2+4\alpha_2^2}<e^{\alpha_1}\sqrt{4\alpha_1^2+4\alpha_2^2}=2e^{\alpha_1}\sqrt{\alpha_1^2+\alpha_2^2}<\sqrt{\alpha_1^2+\alpha_2^2}=|\alpha| \Rightarrow \left( 1+2\alpha\right) e^{\alpha}\ne \alpha\\\\}\)