Dowód nierównosci

Agniezcka · Post autor: **Agniezcka** » 10 maja 2012, o 23:08

\(\displaystyle{ |z|< \sqrt{2} \Longrightarrow \left|(1-i)z^3 +4i^{2012} \frac{1}{z^2}\right|<6}\)

Zapisałam podane liczby w postaci wykładniczej, ale nie wiem czy taki tok myślenia ma sens. Proszę o pomoc.

Post autor: **Chromosom** » 10 maja 2012, o 23:16

Proszę zapisać liczby zespolone w postaci \(\displaystyle{ z=a+b\,\text i}\).

octahedron · Post autor: **octahedron** » 10 maja 2012, o 23:26

\(\displaystyle{ |z|\to 0 \Rightarrow \left| (1-i)z^3 +4i^{2012} \frac{1}{z^2}\right| \to\infty}\)

więc nierówność nie jest prawdziwa

gblablabla · Post autor: **gblablabla** » 11 maja 2012, o 14:47

Moduł z zet dąży do zera, o co w tym chodzi?? Przecież tu nie ma żadnych granic.

octahedron · Post autor: **octahedron** » 11 maja 2012, o 18:47

Nie ma żadnych ograniczeń \(\displaystyle{ |z|}\) z dołu, można więc przyjąć dowolnie małą wartość, a wtedy całe wyrażenie może osiągnąć dowolnie dużą wartość. Nierówność nie jest więc prawdziwa.

Majeskas · Post autor: **Majeskas** » 11 maja 2012, o 19:34

Można pokazać palcem liczbę, dla której jest to nieprawda.

Weźmy \(\displaystyle{ z=\frac12}\). Wówczas
\(\displaystyle{ |z|=\frac12<\sqrt2}\), ale \(\displaystyle{ \left| (1-i)z^3+\frac4{z^2}\right|=\left| \frac18-\frac i8+16\right|=\frac18|129-i|=\frac18\sqrt{129^2+1}>\frac{129}8>16>6}\)