Pierwiastek 1-i
-
Agniezcka
- Użytkownik
- Posty: 153
- Rejestracja: 15 kwie 2012, o 19:40
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 2 razy
Pierwiastek 1-i
wyszło mi \(\displaystyle{ \sqrt{2} \left( \cos \frac{7 \pi }{4}+i\sin \frac{7 \pi }{4} \right)}\)
Ostatnio zmieniony 12 maja 2012, o 11:45 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa zapisu funkcji.
Powód: Poprawa zapisu funkcji.
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Pierwiastek 1-i
No to ze wzoru, pierwiastki kwadratowe z tej liczby to
\(\displaystyle{ z_1 = \sqrt{\sqrt{2}} \left( \cos \frac{7 \pi}{8} + \mathrm i \sin \frac{7 \pi}{8} \right) \\ \\
z_2 = \sqrt{\sqrt{2}} \left( \cos \frac{15 \pi}{8} + \mathrm i \sin \frac{15 \pi}{8} \right) = -z_1.}\)
Można też było napisać, że jeśli
\(\displaystyle{ a+b \mathrm i = \sqrt{1- \mathrm i},}\)
to
\(\displaystyle{ (a+b \mathrm i)^2 = 1- \mathrm i,}\)
czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2-b^2=1 \\ 2ab=-1 \end{cases},}\)
co daje tę samą odpowiedź w innej formie:
\(\displaystyle{ a+b \mathrm i = \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} - \mathrm i \sqrt{ \frac{\sqrt{2}-1}{2}} \vee a+b \mathrm i = -\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} + \mathrm i \sqrt{ \frac{\sqrt{2}-1}{2}}.}\)
\(\displaystyle{ z_1 = \sqrt{\sqrt{2}} \left( \cos \frac{7 \pi}{8} + \mathrm i \sin \frac{7 \pi}{8} \right) \\ \\
z_2 = \sqrt{\sqrt{2}} \left( \cos \frac{15 \pi}{8} + \mathrm i \sin \frac{15 \pi}{8} \right) = -z_1.}\)
Można też było napisać, że jeśli
\(\displaystyle{ a+b \mathrm i = \sqrt{1- \mathrm i},}\)
to
\(\displaystyle{ (a+b \mathrm i)^2 = 1- \mathrm i,}\)
czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2-b^2=1 \\ 2ab=-1 \end{cases},}\)
co daje tę samą odpowiedź w innej formie:
\(\displaystyle{ a+b \mathrm i = \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} - \mathrm i \sqrt{ \frac{\sqrt{2}-1}{2}} \vee a+b \mathrm i = -\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} + \mathrm i \sqrt{ \frac{\sqrt{2}-1}{2}}.}\)