równanie zespolone

[Agniezcka]

\(\displaystyle{ (-2+2 \sqrt{3} )z ^{6}-i (\overline{z})^{4}=0}\)
Obliczyłam, że moduł wynosi 4. Szukam \(\displaystyle{ \alpha}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha =- \frac{1}{2}, \sin \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
kąt jest w drugiej ćwiarce, więc ile wynosi szukany kąt? Liczę \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}+ \frac{\pi}{3}}\) czy \(\displaystyle{ \pi - \frac{ \pi }{3}}\)?

[octahedron]

\(\displaystyle{ z=re^{i\varphi}\\\\
(-2+2 \sqrt{3} )z ^{6}-i (\overline{z})^{4}=0\\\\
(-2+2 \sqrt{3} )r^6e^{6i\varphi}=r^4e^{-i\left( 4\varphi+\frac{\pi}{2}\right) }\\\\
\begin{cases} (-2+2 \sqrt{3} )r^6=r^4\\6\varphi= -4\varphi-\frac{\pi}{2}+2k\pi\end{cases}\\\\
\begin{cases} r=\frac{1}{\sqrt{-2+2 \sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{1+\sqrt{3}}}{2} \\\varphi=-\frac{\pi}{20}+k\frac{\pi}{5}\end{cases}\\\\}\)

[Agniezcka]

\(\displaystyle{ k \in {0,...,9}}\)
Równanie ma 11 rozwiązań, bo może istnieć jeszcze dla \(\displaystyle{ r=0}\)

[octahedron]

Zgadza się.