Miejsce zerowe wielomianu, funkcja zespolona

[Django]

Udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ z_0}\) jest miejscem zerowym wielomianu \(\displaystyle{ P(z) = a_nz^n + ... + a_1z + a_0}\), \(\displaystyle{ a_n \neq 0, n \ge 2}\) o współczynnikach rzeczywistych, to \(\displaystyle{ \overline{z_0}}\) jest też miejscem zerowym tego wielomianu.

Sprawdzić czy funkcja: \(\displaystyle{ f(z) = \frac{z}{1+|z|}}\) jest suriekcją. Wyznaczyć \(\displaystyle{ f[\mathbb{C}]}\)

[TPB]

W pierwszym skorzystaj z postaci trygonometrycznej liczby zespolonej. Potem zapisz \(\displaystyle{ P(z_{0})}\) w postaci trygonometrycznej. Część rzeczywista jak i urojona tej liczby jest równa zero. Teraz zapisz sprzężenie liczby \(\displaystyle{ z_{0}}\) i policz wartość wielomianu w tym punkcie (też go zapisz w postaci trygonometrycznej). Zauważ, że części rzeczywista jest taka sama, a urojona taka sama, co w \(\displaystyle{ P(z_{0})}\), ale z minusem. Czyli sprzężenie też jest miejscem zerowym.

-- 9 maja 2012, o 15:53 --

W drugim z definicji. Ustal dowolną liczbę \(\displaystyle{ w \in \mathbb{C}}\) i rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ \frac{z}{1+\left| z\right| } = w}\). Jeżeli funkcja jest surjekcją, to jej odwzorowaniem będzie cała płaszczyzna zespolona.

[gblablabla]

\(\displaystyle{ w = x_2 + y_2 i, z = x_1 + y_1 i}\)

\(\displaystyle{ \frac{x_1 + y_1 i}{1 + \sqrt{x_1 ^2 + y_1 ^2} } = x_2 + y_2 i}\)
\(\displaystyle{ x_1 + y_1 i = x_2 (1 + \sqrt{x_1 ^2 + y_1 ^2} ) + i y_2 (1 + \sqrt{x_1 ^2 + y_1 ^2} )}\)

\(\displaystyle{ x_2 = \frac{x_1}{1 + \sqrt{x_1 ^2 + y_1 ^2}}}\)
Dowodzisz, że \(\displaystyle{ \left| x_2\right|}\) jest mniejszy od \(\displaystyle{ 1}\). Zapisujesz nierówność, mnożysz przez mianownik i podnosisz do kwadratu. Dla \(\displaystyle{ y_2}\) analogicznie.

[Dasio11]

W pierwszym skorzystaj z postaci trygonometrycznej liczby zespolonej. Potem zapisz \(\displaystyle{ P(z_{0})}\) w postaci trygonometrycznej. Część rzeczywista jak i urojona tej liczby jest równa zero. Teraz zapisz sprzężenie liczby \(\displaystyle{ z_{0}}\) i policz wartość wielomianu w tym punkcie (też go zapisz w postaci trygonometrycznej). Zauważ, że części rzeczywista jest taka sama, a urojona taka sama, co w \(\displaystyle{ P(z_{0})}\), ale z minusem. Czyli sprzężenie też jest miejscem zerowym.

Hm. Mógłbyś to przeprowadzić?

[TPB]

Rozważmy wielomian \(\displaystyle{ P}\) stopnia \(\displaystyle{ n \ge 2}\) o współczynnikach rzeczywistych. Załóżmy, że \(\displaystyle{ z_{0} \in \mathbb{C}}\) jest pierwiastkiem tego wielomianu.
Zapiszmy \(\displaystyle{ z_{0}}\) w postaci trygonometrycznej, czyli
\(\displaystyle{ z_{0} = \left| z_{0}\right|(\cos\phi+i*\sin\phi)}\).
Zatem
\(\displaystyle{ P(z_{0}) = 0 \Leftrightarrow a_{n}z_{0}^{n}+...+a_{1}z_{0}+a_{0} = 0 \Leftrightarrow a_{n}\left| z_{0}\right|^{n}(\cos(n\phi)+i*\sin(n*\phi))+...+a_{1}\left| z_{0}\right|(\cos\phi+i*\sin\phi)+a_{0} = 0 \Leftrightarrow [a_{n}\left| z_{0}\right|^{n}\cos(n*\phi)+...+a_{1}\left| z_{0}\right| cos\phi+a_{0}] + i*[a_{n}\left| z_{0}\right|^{n} \sin(n*\phi)+...+a_{1}\left| z_{0}\right| \sin\phi] = 0}\).
Wyrażenia w nawiasach kwadratowych są równe 0, bo \(\displaystyle{ z_{0}}\) jest miejscem zerowym wielomianu \(\displaystyle{ P}\). Po drodze skorzystaliśmy ze wzoru de Moivre'a oraz faktu, że współczynniki \(\displaystyle{ a_{0},...,a_{n}}\) są rzeczywiste. Milcząco założyłem, że \(\displaystyle{ a_{n} \neq 0}\).

Teraz zapiszmy sprzężenie liczby \(\displaystyle{ z_{0}}\) w postaci trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ \overline{z_{0}} = \left| z_{0}\right|\left( \cos\phi - i\sin\phi\right)}\).
Możemy teraz policzyć \(\displaystyle{ P\left( \overline{z_{0}}\right)}\).

Mamy coś takiego:
\(\displaystyle{ a_{n}\left| z_{0}\right|^{n}\left( \cos\phi - i\sin\phi\right)^{n}+...+a_{1}\left| z_{0}\right|\left( \cos\phi - i\sin\phi)+a_{0} = a_{n}\left| z_{0}\right|^{n}(\cos(-\phi) + i\sin(-\phi))^{n}+...+a_{0}}\)
Skorzystajmy ze wzoru de Moivre'a:
\(\displaystyle{ a_{n}\left| z_{0}\right|^{n}(\cos(-n\phi)+i\sin(-n\phi))+...+a_{1}\left| z_{0}\right|(\cos(-\phi)+i\sin(-\phi))+a_{0} = \left[ a_{n}\left| z_{0}\right|^{n}\cos(-\phi)+...+a_{0} \right] + i*\left[a_{n}|z_{0}|^{n}\sin(-n\phi)+...+a_{1}|z_{0}|\sin(-\phi) \right]}\)
Wystarczy powołać się na fakt, że cosinus jest funkcją parzystą. Część rzeczywista jest z założenia równa zero. Co do urojonej wystarczy skorzystać z nieparzystości funkcji sinus, wyłączyć minus przed nawias i skorzystać ponownie z założenia.

Stąd wnioskujemy, że \(\displaystyle{ P(\overline{z_{0}})=0}\).

-- 12 maja 2012, o 17:19 --

PS: Zaraz to uzupełnię - wysłałem już teraz, bo boję się, że mi rachunki się usuną z powodu awarii, niefartu itp.

-- 12 maja 2012, o 17:30 --

Wybacz, że pod koniec rachunki takie niewyraźne, ale TeX odmówił posłuszeństwa. Nie wiem nie akceptował mi czegoś takiego: a_{1}\left| z_{0}\right|(\cos(-phi) + i\sin(-\phi))

[Dasio11]

Aha.
Nie byłem pewien, po co ci ta postać trygonometryczna, właściwie, to nadal nie wiem.
Jeśli \(\displaystyle{ P \left( z_0 \right)=0,}\) to

\(\displaystyle{ P \left( \overline{z_0} \right) = a_n \overline{z_0}^n + a_{n-1} \overline{z_0}^{n-1} + \ldots + a_1 \overline{z_0} + a_0 = \overline{ a_n z_0^n + a_{n-1}z_0^{n-1} + \ldots + a_1 z_0 + a_0} = \overline 0 = 0.}\)

[TPB]

W ten sposób łatwiej. Ale jakoś wpadłem na inny