Równanie zespolone z n-tą potęgą

forgottenhopes · Post autor: **forgottenhopes** » 7 maja 2012, o 20:34

Rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ (z-2i) ^{n}+(z+2i) ^{n}= 0}\)

Proszę o pomoc z tym zadaniem.

ares41 · Post autor: **ares41** » 7 maja 2012, o 21:50

Przenieś jedno z tych wyrażeń na drugą stronę.

forgottenhopes · Post autor: **forgottenhopes** » 7 maja 2012, o 22:18

\(\displaystyle{ (z-2i) ^{n}=-(z+2i) ^{n}}\)

\(\displaystyle{ \frac{(z-2i) ^{n}}{ (z+2i) ^{n}}=-1}\)
można by zrobić podstawienie
\(\displaystyle{ \frac{(z-2i)}{ (z+2i)}=w \quad , w\in Z}\)

\(\displaystyle{ w ^{n}=-1}\)

\(\displaystyle{ w=\sqrt[n]{-1}}\)

i co dalej mogę zrobić?

ares41 · Post autor: **ares41** » 7 maja 2012, o 22:22

Pomnożyć "na krzyż" i wydzielić z tego równania \(\displaystyle{ z}\)

forgottenhopes · Post autor: **forgottenhopes** » 7 maja 2012, o 22:32

chyba nie bardzo rozumiem co mam zrobić

leapi · Post autor: **leapi** » 7 maja 2012, o 22:34

\(\displaystyle{ w(z+2i)=z-2i}\)

forgottenhopes · Post autor: **forgottenhopes** » 7 maja 2012, o 22:50

czyli \(\displaystyle{ z=\frac{-2i-2iw}{w-1}}\)
za \(\displaystyle{ w}\) podstawiam pierwiastek i otrzymuję
\(\displaystyle{ z=\frac{-2i-2i\sqrt[n]{-1}}{\sqrt[n]{-1}-1}}\) tak?