Część rzeczywista i urojona sumy oraz iloczynu rozwiązań

[zajer]

Ostatnie zadanie jakie mam więc proszę o wyrozumiałość : D
\(\displaystyle{ z_{1},z _{2},z _{3},z _{4}}\) są rozwiązaniami równania
\(\displaystyle{ z ^{4} =( -\sqrt{2}-j \sqrt{6} ) ^{53}}\)
Mam wyznaczyć część rzeczywistą i urojoną liczb
\(\displaystyle{ z_{1}+z _{2}+z _{3}+z _{4}}\) oraz \(\displaystyle{ z_{1} \cdot z _{2} \cdot z _{3} \cdot z _{4}}\)
Jak zwykle wielkie dzięki za pomysł na rozwiązanie.

[rubik1990]

Rozważ wielomian \(\displaystyle{ f(z)=z^4+(\sqrt{2}+i\sqrt{6})^{53}}\). Zauważ, że \(\displaystyle{ f(0)=z_1 z_2 z_3 z_4}\)- dalej standardowo, wystarczy rozpisać w postać trygonometryczną. A co do sumy to może geometrycznie: wektory \(\displaystyle{ z_1, z_2, z_3, z_4}\) są wierzchołkami kwadrata o środku w zerze, zwroty mają od zera do "gdzieś"(każdy ma inny zwrot). W każdym razie łatwo widać ile wynosi ich suma, prawda?

[zajer]

niezbyt dla mnie
I zastanawiam się dlaczego \(\displaystyle{ z_{1}z_{2}z_{3}z_{4}}\) JEST pierwiastkiem. A nie kolejno \(\displaystyle{ z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}\)

[rubik1990]

Wcale nie napisałem, że jest pierwiastkiem. Jeżeli napiszesz, że
\(\displaystyle{ f(z)=(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)}\)
a potem wymnożysz to dostaniesz coś takiego:
\(\displaystyle{ f(z)=z^4-(z_1+z_2+z_3+z_4)z^3+Az^2+Bz+z_1 z_2 z_3 z_4}\)
i stąd widać, że \(\displaystyle{ f(0)=z_1 z_2 z_3 z_4}\)- dalej wiesz jak robić?
A z sumą to po pierwsze powinieneś wiedzieć z zajęć, że pierwiastki równania \(\displaystyle{ z^4=z_0}\) leżą na wierzchołkach kwadratu. Tylko nie wiemy bez obliczeń jka zorientowany względem osi jest ten kwadrat tzn. czy masz np. boki równoległe do osi czy może jest jakiś przekrzywiony- w tym przypadku okazuje się to niepotrzebne. Żeby to zobaczyć zrób jak następuje:
1) narysuj kwadrat o środku w początku układu
2) oznacz wierzchołki \(\displaystyle{ z_1, z_2, z_3,z_4}\) (kolejność nie jest ważna)
3) teraz traktuj liczby \(\displaystyle{ z_1, z_2, z_3,z_4}\) jako wektory o początku w zerze i strzałce w wierzchołku
4)teraz sobie przypomnij jak się dodaje wektory
Rozumiesz?

[zajer]

Od razu: wielkie dzięki
Z tego co rozumiem z \(\displaystyle{ (-\sqrt{2}-i\sqrt{6})^{53}=z_1 z_2 z_3 z_4}\)

Teraz moje pytanie lewą stronę na postać trygonometryczną zamienię, a prawą? również na trygonometryczną tyle, że postaci:\(\displaystyle{ r ^{4}(cos(4 \alpha )+jsin(4 \alpha )}\)?
A odnośnie kwadratu: jak mam wyliczyć pojedyncze \(\displaystyle{ z _{?}}\) Ponieważ z tego co rozumiem to po dodaniu wektorów otrzymam jakiś tam pierwiastek i z niego już tylko wyanaczyć Rz lub Im

[rubik1990]

1) \(\displaystyle{ z_1z_2z_3z_4=(\sqrt{2}+i\sqrt{6})^{53}}\) więc musisz wyliczyć PRAWEJ strony część rzeczywistą i urojoną i to będzie odpowiedź- robisz to ze wzorów de Moivre'a
2)Wartości \(\displaystyle{ z_1, z_2, z_3, z_4}\) nie są Ci potrzebne Zrób dobry rysunek. A jak nadal nie będziesz tego widział to narysuj zwykły kwadrat i na nim narysuj strzałki w kierunkach takich jakbyś chodził na około kwadratu- co możesz powiedzieć wtedy o sumie tych wektorów? Jaki to ma związek z naszym przypadkiem?

[zajer]

2. =0 thx?
1. wyniki będą w postaci funkcji trygonometrycznych z dokładnością do \(\displaystyle{ 2k \pi}\)?

[rubik1990]

Drugie jest ok- mam nadzieje, że to rozumiesz
A pierwsze to najlepiej napisz co Ci wyszło dokładnie

[zajer]

pierwsze w sensie 2. te wektory się wyzerują więc wynikiem sumy będzie 0
pierwsze w sensie 1. jak np dostanę wynik \(\displaystyle{ jsin( \frac{50}{60} \pi )}\)
to czy wynik zapisuję w postaci \(\displaystyle{ jsin( \frac{50}{60} \pi+2k \pi )}\) dla k={0,1,2....}
czy jak poprzednio \(\displaystyle{ jsin( \frac{50}{60} \pi )}\)

[rubik1990]

\(\displaystyle{ 2k\pi}\) jest niepotrzebne.
Pozdrawiam
T.K.