Równanie zespolone

[forgottenhopes]

Oblicz \(\displaystyle{ z}\) jeżeli \(\displaystyle{ z ^{3}=( \sin \frac{\pi}{5} - i\cos \frac{\pi}{5}) ^{} ^{4}}\)
Jak się zabrać do takiego zadania? Z góry dziękuję za pomoc.

Zaczęłam tak:
\(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{5}=\cos (\frac{3}{2}\pi+\frac{\pi}{5})}\)
\(\displaystyle{ -\cos \frac{\pi}{5}=\sin (\frac{3}{2}\pi+\frac{\pi}{5})}\)
więc
\(\displaystyle{ z ^{3}=( \cos \frac{17}{10}\pi + i\sin \frac{17}{10}\pi) ^{} ^{4}}\)
I czy teraz mogę zapisać
\(\displaystyle{ ( \cos \frac{17}{10}\pi + i\sin \frac{17}{10}\pi) ^{} ^{4}}\)
jako
\(\displaystyle{ 1 ^{4} \cdot (e ^{i\frac{17}{10}\pi}) ^{4}}\) ?

[octahedron]

Tak, o to chodzi.

[forgottenhopes]

dzięki, dalej już sobie poradzę.

A jak obliczyć takie wyrażenie:

\(\displaystyle{ (\frac{(-i) ^{2011}}{\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{7}{6}\pi}) ^{15}}\)

[octahedron]

\(\displaystyle{ \left(\frac{(-i) ^{2011}}{\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{7}{6}\pi}\right) ^{15}=\left(\frac{(-i) ^{4\cdot 502}\cdot (-i)^3}{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i}\right) ^{15}=\left(\sqrt{2}\cdot\frac{1^{502}\cdot i}{e^{-i\frac{\pi}{4}}}\right) ^{15}=\left( \sqrt{2}\right)^{15} \left(\frac{e^{i\frac{\pi}{2}}}{e^{-i\frac{\pi}{4}}}\right) ^{15}=\\\\=\left( \sqrt{2}\right)^{15} \left(e^{i\frac{3\pi}{4}}\right) ^{15}=\left( \sqrt{2}\right)^{15}e^{i\frac{45\pi}{4}}=\left( \sqrt{2}\right)^{15}e^{i\frac{5\pi}{4}}=\left( \sqrt{2}\right)^{15}\left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-i\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\\\\=-2^7-2^7i}\)