liczby zespolone - potęgowanie

[Mitsukai]

Uprzejmie proszę o jakąkolwiek pomoc w rozwiązaniu zadania.

\(\displaystyle{ z ^{6}}\)=\(\displaystyle{ (1+i) ^{12}}\)

Nie rozumiem co mogę z nim zrobić, próbowałam je rozbić na mniejsze potęgi.
wychodzi mi że \(\displaystyle{ (1+i) ^{12}}\)=-64 nie wiem jednak co zrobić "z". Ponadto nie wiem nawet co powinnam dalej liczyć.

[JakimPL]

Liczby postaci \(\displaystyle{ (1+i)^{2n}}\) łatwo liczyć, warto zauważyć, że \(\displaystyle{ (1+i)^{2n}=\big((1+i)^2\big)^n=(2i)^n=2^n i^n}\). Ale akurat w tym zadaniu nie było to konieczne wyliczać tę liczbę.

Umiesz liczyć pierwiastki \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia liczby zespolonej? Musimy znaleźć taką liczbę \(\displaystyle{ z}\), że \(\displaystyle{ z^6=-64}\). Takich liczb będzie \(\displaystyle{ 6}\) (dlaczego?).

Policzmy zespolony pierwiastek \(\displaystyle{ \sqrt[6]{-64}}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\). Aby to zrobić, potrzebna nam jest postać trygonometryczna:

\(\displaystyle{ -64=64\left(\cos \pi + i \sin \pi\right)}\)

Zgodnie ze wzorem de Moivre'a, liczba ma następujące pierwiastki \(\displaystyle{ 6}\) stopnia: \(\displaystyle{ z_k = \sqrt[6]{|z|}\left(\cos \frac{\pi+2k\pi}{6} + i \sin \frac{\pi+2k\pi}{6} \right)}\) dla \(\displaystyle{ k\in\{0,1,\ldots,5\}}\). Skoro \(\displaystyle{ |z|=64}\), to \(\displaystyle{ \sqrt[6]{|z|}=2}\), a więc:

\(\displaystyle{ z_0 = 2\left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right)}\)

I tak dalej.