Wykorzystanie postaci trygonometrycznej

[ocelon]

Postać wykładnicza w równaniu.
Witam, wykorzystam postać wykładnicza do policzenia równania z liczami zespolonymi.
\(\displaystyle{ z - pewna liczba zespolona (a+ib)}\)

\(\displaystyle{ (\overline{z})^3-i\overline{z}=0}\)

\(\displaystyle{ i = e^{\frac{i\pi}{2}}}\)
\(\displaystyle{ i = (\overline{z})^3= e^{-i \alpha}}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right|=r}\)

\(\displaystyle{ r^3e^{-3i \alpha}=e^{\frac{i\pi}{2}}re^{-i \alpha}}\)
\(\displaystyle{ r^3e^{-3i \alpha}=re^{i (-\alpha+\frac{\pi}{2})}}\)
\(\displaystyle{ r^3=r}\)
\(\displaystyle{ r(r^2-1)=0 r \subset R, r \ge 0}\)
\(\displaystyle{ r = 1 , r = 0 , r = -1\\
- \alpha + 2k\pi = \frac{\pi}{2}-\alpha , k = 0,1,2,3 ...}\)
W tym momencie interesuje mnie dlaczego należy wstawić \(\displaystyle{ 2kpi}\) oraz czy można to wstawić z dowonlej strony równania.

\(\displaystyle{ \alpha = k\pi - \frac{\pi}{4} \\
{\alpha}_0= \frac{-\pi}{4}\\
{\alpha}_1= \frac{3\pi}{4}\\
Odp: z = 0 \vee z=e^{\frac{-i\pi}{4}} \vee z=e^{\frac{3i\pi}{4}}}\)

[octahedron]

W tym momencie interesuje mnie dlaczego należy wstawić \(\displaystyle{ 2kpi}\) oraz czy można to wstawić z dowonlej strony równania.

Bo po dodaniu do argumentu wielokrotności \(\displaystyle{ 2\pi}\) dostajemy tę samą liczbę. Dodać można z dowolnej strony.