Potęga z liczby Z w postaci (nie)trygonometrycznej?!

[Rychu Hassad]

\(\displaystyle{ (1+\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})^6=}\)

Co z tym zrobić?

Czy to jest jak \(\displaystyle{ (1+Z)^6}\)?
Czy może to tak potraktować:
\(\displaystyle{ (1+\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})^6=(\frac{3}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})^6}\)
chciałem z tego wyciągnąć r przed nawias, ale jak się okazało potęga to uniemożliwia,
a po za tym po podstawieniu okazało się że równanie jest sprzeczne i r z tego nie wyjdzie.

[ Dodano: 20 Luty 2007, 02:30 ]
Po półtorej godziny myślenia... wymyśliłem :]

\(\displaystyle{ (1+\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})^6=
(1+\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})^6=
(\frac{3}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})^6=Z^6 \\
|Z|=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=
\sqrt{3}\\
Z=\sqrt{3}(\frac{3}{2\sqrt{3}}+i\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}})=
\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2})\\
ft\{\begin{array}{l}
\cos\gamma=\frac{\sqrt{3}}{2}\\
\sin\gamma=\frac{1}{2}\\
\gamma\in}\)

[Sir George]

Rychu, bardzo dobrze, widać, że półtorej godziny myślenia dobrze Ci zrobiło...
Mała poprawka do obliczeń... zapomniałeś o \(\displaystyle{ i}\), czyli Twoja odpowiedź powinna wyglądać:
\(\displaystyle{ z\;=\;\sqrt{3}\big(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin{\pi}{6}\big)}\)
...itp....
A poza tym \(\displaystyle{ \cos\pi=-1}\) oraz \(\displaystyle{ \sin\pi=0}\)... itd.


Przy okazji: pierwsza intuicja też była dobra:
jeśli położymy \(\displaystyle{ w=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}3}\), czyli \(\displaystyle{ z=1+w}\), to oczywiście \(\displaystyle{ w}\) jest pierwszym pierwiastkiem szóstego stopnia z jedynki, spełnia zatem zależności:
\(\displaystyle{ w^6=1,\qquad w+w^5=1,\qquad w^2+w^4=-1,\qquad w^3=-1}\).
Teraz mamy
\(\displaystyle{ z^6\;=\; (1+w)^6\; =\;1+6w+15w^2+20w^3+15w^4+6w^5+w^6\; =\; -27}\)