Na płaszczyźnie zespolonej narysuj zbiór liczb

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Budownictwo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 6 kwie 2012, o 16:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 2 razy

Na płaszczyźnie zespolonej narysuj zbiór liczb

Post autor: Budownictwo »

Na płaszczyźnie zespolonej narysuj zbiór liczb z spełniajacych podane warunki:

\(\displaystyle{ Im\left( \frac{z}{\bar{z}} \right) =1}\)

Bardzo prosze o rozwiazanie krok po kroku i narysowanie

Odpowiedzią powinna być prosta \(\displaystyle{ y=x}\), ale bez punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\).
Ostatnio zmieniony 6 kwie 2012, o 17:01 przez loitzl9006, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Marcinek665
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

Na płaszczyźnie zespolonej narysuj zbiór liczb

Post autor: Marcinek665 »

No to najpierw zapiszmy, że \(\displaystyle{ z \neq 0}\), bo inaczej wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{z}{\bar{z}}}\) nie ma sensu. Napiszmy więc, że \(\displaystyle{ z= a + bi}\) i mamy kolejno:

\(\displaystyle{ \frac{z}{\bar{z}} = \frac{a+bi}{a-bi} = \frac{(a+bi)^2}{(a-bi)(a+bi)} = \frac{a^2 + 2abi - b^2}{a^2 + b^2}}\)

Chcemy, by \(\displaystyle{ Im\left( \frac{z}{\bar{z}} \right) =1}\), więc:

\(\displaystyle{ Im\left( \frac{a^2 + 2abi - b^2}{a^2 + b^2} \right) =1 \Leftrightarrow \frac{2ab}{a^2 + b^2} = 1 \Leftrightarrow a^2 -2ab + b^2 = 0 \Leftrightarrow (a-b)^2 = 0 \Leftrightarrow a=b}\),

przy czym na mocy \(\displaystyle{ z \neq 0}\) nie może być \(\displaystyle{ a=b=0}\)

Czyli to, co chcieliśmy pokazać.
Budownictwo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 6 kwie 2012, o 16:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 2 razy

Na płaszczyźnie zespolonej narysuj zbiór liczb

Post autor: Budownictwo »

Mistrz
ODPOWIEDZ