Na płaszczyźnie zespolonej narysuj zbiór liczb z spełniajacych podane warunki:
\(\displaystyle{ Im\left( \frac{z}{\bar{z}} \right) =1}\)
Bardzo prosze o rozwiazanie krok po kroku i narysowanie
Odpowiedzią powinna być prosta \(\displaystyle{ y=x}\), ale bez punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\).
Na płaszczyźnie zespolonej narysuj zbiór liczb
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 6 kwie 2012, o 16:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rybnik
- Podziękował: 2 razy
Na płaszczyźnie zespolonej narysuj zbiór liczb
Ostatnio zmieniony 6 kwie 2012, o 17:01 przez loitzl9006, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
Na płaszczyźnie zespolonej narysuj zbiór liczb
No to najpierw zapiszmy, że \(\displaystyle{ z \neq 0}\), bo inaczej wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{z}{\bar{z}}}\) nie ma sensu. Napiszmy więc, że \(\displaystyle{ z= a + bi}\) i mamy kolejno:
\(\displaystyle{ \frac{z}{\bar{z}} = \frac{a+bi}{a-bi} = \frac{(a+bi)^2}{(a-bi)(a+bi)} = \frac{a^2 + 2abi - b^2}{a^2 + b^2}}\)
Chcemy, by \(\displaystyle{ Im\left( \frac{z}{\bar{z}} \right) =1}\), więc:
\(\displaystyle{ Im\left( \frac{a^2 + 2abi - b^2}{a^2 + b^2} \right) =1 \Leftrightarrow \frac{2ab}{a^2 + b^2} = 1 \Leftrightarrow a^2 -2ab + b^2 = 0 \Leftrightarrow (a-b)^2 = 0 \Leftrightarrow a=b}\),
przy czym na mocy \(\displaystyle{ z \neq 0}\) nie może być \(\displaystyle{ a=b=0}\)
Czyli to, co chcieliśmy pokazać.
\(\displaystyle{ \frac{z}{\bar{z}} = \frac{a+bi}{a-bi} = \frac{(a+bi)^2}{(a-bi)(a+bi)} = \frac{a^2 + 2abi - b^2}{a^2 + b^2}}\)
Chcemy, by \(\displaystyle{ Im\left( \frac{z}{\bar{z}} \right) =1}\), więc:
\(\displaystyle{ Im\left( \frac{a^2 + 2abi - b^2}{a^2 + b^2} \right) =1 \Leftrightarrow \frac{2ab}{a^2 + b^2} = 1 \Leftrightarrow a^2 -2ab + b^2 = 0 \Leftrightarrow (a-b)^2 = 0 \Leftrightarrow a=b}\),
przy czym na mocy \(\displaystyle{ z \neq 0}\) nie może być \(\displaystyle{ a=b=0}\)
Czyli to, co chcieliśmy pokazać.
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 6 kwie 2012, o 16:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rybnik
- Podziękował: 2 razy