Witam, mam problem z przykładem 3.1.b ze zbioru Skoczylasa. Należy rozwiązać używając postaci wykładniczej
\(\displaystyle{ \overline{(z)^{4}}=z^{2}\left|z^{2} \right|}\)
jak to ruszyc? dziękuję za pomoc
Przykład ze sprzezeniem
-
JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Przykład ze sprzezeniem
\(\displaystyle{ t=z^2=a+bi}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ \overline{t^2}=|t|t}\)
Rozpiszmy \(\displaystyle{ t}\):
\(\displaystyle{ a^2-b^2-2abi = \sqrt{a^2+b^2}\cdot (a+bi)}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ |t|}\) jest liczbą rzeczywistą, stąd też można traktować to jako współczynnik. Przyrównując dowolną część (zespoloną bądź urojoną), otrzymujemy (tu z części zespolonej):
\(\displaystyle{ \sqrt{a^2+b^2} = -2a}\)
Jesteśmy w dziedzinie rzeczywistej teraz, stąd \(\displaystyle{ a\leqslant 0}\), by móc obustronnie podnieść do kwadratu:
\(\displaystyle{ a^2+b^2=4a^2 \Rightarrow b = \pm \sqrt{3} a}\)
Dla \(\displaystyle{ a>0}\) rozwiązanie istnieje i jest trywialne; \(\displaystyle{ b=0}\). Mając już liczbę postaci \(\displaystyle{ t=a(1\pm i\sqrt{3})}\) nietrudno już znaleźć taką liczbę \(\displaystyle{ z}\), że \(\displaystyle{ z^2 = t}\).
Pozdrawiam.
Wtedy:
\(\displaystyle{ \overline{t^2}=|t|t}\)
Rozpiszmy \(\displaystyle{ t}\):
\(\displaystyle{ a^2-b^2-2abi = \sqrt{a^2+b^2}\cdot (a+bi)}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ |t|}\) jest liczbą rzeczywistą, stąd też można traktować to jako współczynnik. Przyrównując dowolną część (zespoloną bądź urojoną), otrzymujemy (tu z części zespolonej):
\(\displaystyle{ \sqrt{a^2+b^2} = -2a}\)
Jesteśmy w dziedzinie rzeczywistej teraz, stąd \(\displaystyle{ a\leqslant 0}\), by móc obustronnie podnieść do kwadratu:
\(\displaystyle{ a^2+b^2=4a^2 \Rightarrow b = \pm \sqrt{3} a}\)
Dla \(\displaystyle{ a>0}\) rozwiązanie istnieje i jest trywialne; \(\displaystyle{ b=0}\). Mając już liczbę postaci \(\displaystyle{ t=a(1\pm i\sqrt{3})}\) nietrudno już znaleźć taką liczbę \(\displaystyle{ z}\), że \(\displaystyle{ z^2 = t}\).
Pozdrawiam.