Witam, mam mały problem z udowodnieniem tw:
Niech ciąg \(\displaystyle{ z_{n} =x_{n}+iy_{n}, n \in N .}\) Ciąg \(\displaystyle{ z_{n}}\) jest zbieżny do liczby \(\displaystyle{ \alpha +i \beta}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty}x_{n}= \alpha}\) i \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }y_{n}= \beta}\).
Dowód w lewą \(\displaystyle{ ( \Leftarrow )}\)stronę wiem jak wygląda, ale niestety nie potrafię udowodnić tego w druga stronę, czyli
przy założeniu, że ciąg \(\displaystyle{ z_{n}}\) jest zbieżny to ciągi \(\displaystyle{ x_{n}}\) i \(\displaystyle{ y_{n}}\) też są zbieżne dpowiednio do \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\)
Będę wdzięczna za pomoc:)
tw o zbieżności ciągu liczb zespolonych
-
szw1710
tw o zbieżności ciągu liczb zespolonych
Skorzystaj z postaci modułu liczby zespolonej.
\(\displaystyle{ |z_n-z_0|=|(x_n-\alpha)+i(y_n-\beta)|=\sqrt{(x_n-\alpha)^2+(y_n-\beta)^2}}\)
i teraz to oszacuj. Dowód analogiczny jak na płaszczyźnie. Zbieżność ciągu punktów płaszczyzny jest równoważna zbieżności po współrzędnych.
\(\displaystyle{ |z_n-z_0|=|(x_n-\alpha)+i(y_n-\beta)|=\sqrt{(x_n-\alpha)^2+(y_n-\beta)^2}}\)
i teraz to oszacuj. Dowód analogiczny jak na płaszczyźnie. Zbieżność ciągu punktów płaszczyzny jest równoważna zbieżności po współrzędnych.
tw o zbieżności ciągu liczb zespolonych
Aż wstyd się przyznać, ale nie bardzo wiem przez co to oszacować... wczoraj właśnie utknęłam w tym miejcu zanim zapytałąm o to na forum:/
ZAł: \(\displaystyle{ \forall \varepsilon \exists n_{0} \forall n \ge n_{0} \quad \left| z_{n}- (\alpha+i \beta ) \right|<\varepsilon}\).
Teza: \(\displaystyle{ \forall \varepsilon_{1} \exists n_{1} \forall n \ge n_{1} \quad \left| x_{n}- \alpha \right|<\varepsilon_{1}}\) i
\(\displaystyle{ \forall \varepsilon_{2} \exists n_{2} \forall n \ge n_{2} \quad \left| x_{n}- \alpha \right|<\varepsilon_{2}}\).
\(\displaystyle{ \left| z_{n}-z_{0}\right|=\left| (x_{n}+iy_{n}-( \alpha) +i \beta )\right|=\left| (x_{n}- \alpha +i(y_{n}- \beta )\right|= \sqrt{(x_{n}- \alpha )^{2}+(y_{n}- \beta )^{2}}<\varepsilon}\)
będę wdzięczna za pomoc, bo dowody to moja nienajlepsza strona...
ZAł: \(\displaystyle{ \forall \varepsilon \exists n_{0} \forall n \ge n_{0} \quad \left| z_{n}- (\alpha+i \beta ) \right|<\varepsilon}\).
Teza: \(\displaystyle{ \forall \varepsilon_{1} \exists n_{1} \forall n \ge n_{1} \quad \left| x_{n}- \alpha \right|<\varepsilon_{1}}\) i
\(\displaystyle{ \forall \varepsilon_{2} \exists n_{2} \forall n \ge n_{2} \quad \left| x_{n}- \alpha \right|<\varepsilon_{2}}\).
\(\displaystyle{ \left| z_{n}-z_{0}\right|=\left| (x_{n}+iy_{n}-( \alpha) +i \beta )\right|=\left| (x_{n}- \alpha +i(y_{n}- \beta )\right|= \sqrt{(x_{n}- \alpha )^{2}+(y_{n}- \beta )^{2}}<\varepsilon}\)
będę wdzięczna za pomoc, bo dowody to moja nienajlepsza strona...
-
brzoskwinka1
tw o zbieżności ciągu liczb zespolonych
\(\displaystyle{ \max\{|x_n - \alpha |, |y_n - \beta |\}\le |z_n-z_0|=|(x_n-\alpha)+i(y_n-\beta)|=\sqrt{(x_n-\alpha)^2+(y_n-\beta)^2} \le |x_n - \alpha |+ |y_n - \beta |}\)