Działania na liczbach zespolonych

[1991Kamil]

Mam tu takie zadanie z dodawania liczb zespolonych. Chciałbym, żeby ktoś sprawdził dotychczasowe obliczenia i pomógł mi dokończyć zadanie.

\(\displaystyle{ \frac{\left( 1+ \sqrt{3}i\right) ^{2}\left( 1-i\right) }{4 \left( \sqrt{3}+i\right)\left( 1+i\right) ^{2} } \cdot i ^{3}}\)



rozw.

\(\displaystyle{ \frac{\left( 1+ \sqrt{3}i\right) ^{2}\left( 1-i\right) }{4 \left( \sqrt{3}+i\right)\left( 1+i\right) ^{2} } \cdot i ^{3}}\)

\(\displaystyle{ \left( 1+ \sqrt{3}i\right) ^{2}}\)


\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{1 ^{2} + \left( \sqrt{3}\right) ^{2}} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} =2}\)


\(\displaystyle{ \begin{cases} cos \varphi = \frac{a}{\left| z\right| } = \frac{1}{2} \\ sin \varphi = \frac{b}{\left| z\right| } = \frac{ \sqrt{3} }{2} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ + i + = I cw.}\)

\(\displaystyle{ \varphi = \alpha _{0}}\)
\(\displaystyle{ \alpha _{0} = \frac{ \pi }{3}}\)
\(\displaystyle{ \varphi = \frac{ \pi }{3}}\)

\(\displaystyle{ \left( 1+ \sqrt{3}i\right) ^{2} = 2 ^{2}\left( cos\left( 2 \cdot \frac{ \pi }{3} \right)+isin\left( 2 \cdot \frac{ \pi }{3}\right)\right) = 4\left( cos \frac{2 \pi }{3} + isin \frac{2 \pi }{3} \right) = 4\left( cos \left( \pi - \frac{ \pi }{3}\right) + isin \left( \pi - \frac{ \pi }{3}\right) \right) = 4\left( cos \frac{ \pi }{3} + isin \frac{ \pi }{3} \right) = 4 \left( \frac {1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right) = -2+2 \sqrt{3}i}\)

\(\displaystyle{ \left( 1-i\right) ^{3}}\)

\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{1 ^{2} + \left( -1\right) ^{2}} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} cos \varphi = \frac{ \sqrt{2}}{2} \\ sin \varphi = - \frac{ \sqrt{2}}{2} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \alpha = 2 \pi - \alpha _{0} = 2 \pi - \frac{ \pi }{4} = \frac{7 \pi }{4}}\)

Następnie podobnym sposobem wyliczyłem \(\displaystyle{ \left( 1-i\right) ^{3}}\) i wyszło mi \(\displaystyle{ -2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}i}\)


\(\displaystyle{ \frac{\left( 1+ \sqrt{3}i\right) ^{2}\left( 1-i\right) }{4 \left( \sqrt{3}+i\right)\left( 1+i\right) ^{2} } \cdot i ^{3}}\) = \(\displaystyle{ \frac{ \left( -2 + 2 \sqrt{3} i\right) \left( -2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}i \right) }{ 4 \left( \sqrt{3} + \sqrt{3}i + i + i ^{2}\right)} \cdot \left( -i\right) = \frac{4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}i - 4 \sqrt{6}i - 4 \sqrt{6}i ^{2}}{ 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3}i + 4i + 4i ^{2}} \cdot \left( -i\right) =}\)

No właśnie, i co dalej?

[kammeleon18]

Moim zdaniem łatwiej zrobić to zadanie przedstawiając każdą liczbę zespoloną z licznika i mianownika w postaci trygonometrycznej i korzystając z wzoru De Moivra. Ale można również otworzyć nawiasy, dokonać obliczeń. Otrzymasz wtedy liczbę postaci \(\displaystyle{ \frac{a+bi}{c+di}}\) Wtedy trzeba usunąć urojoność z mianownika i otrzymamy liczbę w ładnej postaci \(\displaystyle{ a+bi}\)

[scyth]

1991Kamil - najpierw wymnóż i usuń część urojoną z mianownika, a na końcu zamieniaj na postać trygonometryczną (jak musisz). Czyli:
\(\displaystyle{ \frac{\left( 1+ \sqrt{3}i\right) ^{2}\left( 1-i\right) }{4 \left( \sqrt{3}+i\right)\left( 1+i\right) ^{2} } \cdot i ^{3} =
\frac{\left( 1+ 2\sqrt{3}i - 3 \right) \left( 1-i \right)(-i) }{4 \left( \sqrt{3}+i\right)\left( 1+2i-1\right)} =\\=
\frac{\left( 2\sqrt{3}i - 2 \right) \left( -1-i \right) }{8i \left( \sqrt{3}+i\right)} = \ldots}\)