Równanie zespolone

[zahsar]

Nie jestem pewien czy dobrze to rozwiązuje:
\(\displaystyle{ z^{6} + 2z^{4} + 8z^{2} - 32 = 0}\)
podstawiam t = z^2
\(\displaystyle{ t^{3} + 2t^{2} + 8t - 32 = 0}\)
jeden z pierwiastków, 2kę, widać od razu, więc mogę ją wyciągnąć:
\(\displaystyle{ (t-2)(t^{2} + 4t + 16) = 0}\)
w pierwszym nawiasie mogę sobie wyliczyć pierwiastki:
\(\displaystyle{ (z^{2} - 2) = (z + \sqrt{2})(z - \sqrt{2})}\), czyli dwa pierwsze to \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i \(\displaystyle{ -\sqrt{2}}\) tak?
Dalej liczę sobie normalnie wyróżnik:
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = \sqrt{-48} = i4\sqrt{3}}\)
i dalej:
\(\displaystyle{ t_{1} = \frac{-4-i4\sqrt{3}}{2}} = -2-2\sqrt{3}i}\)
\(\displaystyle{ t_{2} = \frac{-4+i4\sqrt{3}}{2}} = -2+2\sqrt{3}i}\)
czyli kolejne pierwiastki (2 pary):
\(\displaystyle{ z_{1} = \sqrt{-2-2\sqrt{3}i}}\)
\(\displaystyle{ z_{2} = -\sqrt{-2-2\sqrt{3}i}}\)
\(\displaystyle{ z_{3} = \sqrt{-2+2\sqrt{3}i}}\)
\(\displaystyle{ z_{4} = -\sqrt{-2+2\sqrt{3}i}}\)
To tak ma być? Z góry dzięki za pomoc, a i od razu zapytam jeszcze o coś takiego:
\(\displaystyle{ (1 + i\sqrt{3})^{15}}\)
postać trygonometryczna mi wyszła taka: \(\displaystyle{ 2(cos\frac{\pi}{3} + isin\frac{\pi}{3})}\)
i z de Moivre'a:
\(\displaystyle{ 2^{15}(cos5\pi + isin5\pi) = (-1) * 2^{15} * i = -i2^{15}}\)
Ale tutaj to już czuję, że jakieś kompletne bzdury popisałem, marny z tych zespolonych jestem i dopiero zaczynam więc byłbym wdzięczny za pomoc :]

[octahedron]

\(\displaystyle{ 2^{15}(\cos 5\pi + i\sin 5\pi) =2^{15}(-1+0i) = -2^{15}}\)

Pierwsze dobrze, tylko trzeba pamiętać, że pierwiastek zespolony jest wieloznaczny i np. \(\displaystyle{ \sqrt{-2-2\sqrt{3}i}}\) może przyjmować dwie różne wartości, więc taki zapis nie jest jednoznaczny.

[zahsar]

O, dzięki wielkie :]