Rozwiązanie równania

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Heniek13
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 21 mar 2012, o 13:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wielkopolska

Rozwiązanie równania

Post autor: Heniek13 »

Witam. Piszę pracę z matematyki, natrafiłem na dość duży problem i muszę poprosić o pomoc... Będę pisał pobieżnie, czyt. bez zbędnych obliczeń.

Moje równanie: \(\displaystyle{ z^{5}-1=0}\)
Najpierw zapisuję je w postaci trygonometrycznej: \(\displaystyle{ z^{5}=\cos 0}\)
Następnie, używając twierdzenia De Moivre'a wyliczam rozwiązania. Wychodzą one takie:
\(\displaystyle{ z_{1}=\cos 0=1}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=\cos \left( \frac{2 \pi }{5} \right) +i\sin \left( \frac{2 \pi }{5} \right)}\)
\(\displaystyle{ z_{3}=\cos \left( \frac{4 \pi }{5} \right) +i\sin \left( \frac{4 \pi }{5} \right)}\)
\(\displaystyle{ z_{4}=\cos \left( \frac{6 \pi }{5} \right) +i\sin \left( \frac{6 \pi }{5} \right)}\)
\(\displaystyle{ z_{5}=\cos \left( \frac{8 \pi }{5} \right) +i\sin \left( \frac{8 \pi }{5} \right)}\).

Problem polega na tym, że o ile mogę wyliczyć dokładnie pierwsze rozwiązanie, o tyle po wpisaniu w kalkulator wszystkich następnych wychodzą mi jedynie wyniki przybliżone.

Czy jest możliwość zapisania dokładnej wartości w formie \(\displaystyle{ z=x+iy}\)? Jest to dość ważne, ponieważ następnie muszę zmierzyć odległości pomiędzy rozwiązaniami na diagramie Arganda.

Pozdrawiam.

Edit: Z góry przepraszam za błędy w pisowni. Jeszcze do końca nie ogarniam LaTeXa.
Ostatnio zmieniony 21 mar 2012, o 14:09 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex]. Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu. Poprawa wiadomości.
Kmitah
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 179
Rejestracja: 16 lut 2012, o 16:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suwałki / Białystok
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 28 razy

Rozwiązanie równania

Post autor: Kmitah »

Nie, na tym właśnie polega problem z postacią trygonometryczną liczby zespolonej. Możesz jednak spróbować wyznaczyć wartości sinusów i cosinusów dla zadanych argumentów, korzystając z tożsamości trygonometrycznej.

A tak w ogóle, to dokładne wartości wyznaczyłeś. Zarówno część rzeczywista jak i urojona są liczbami niewymiernymi, więc kalkulator pokaże ci tylko wynik przybliżony.
Heniek13
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 21 mar 2012, o 13:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wielkopolska

Rozwiązanie równania

Post autor: Heniek13 »

W takim razie czy w takiej formie jest możliwość obliczenia długości odcinka pomiędzy punktami, powiedzmy \(\displaystyle{ z_{1}}\) i \(\displaystyle{ z_{3}}\), na diagramie Arganda?-- 25 mar 2012, o 12:57 --Problem rozwiązany, więc temat do zamknięcia.
ODPOWIEDZ