Pierwiastki liczb zespolonych - prośba o wyjaśnienie

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
gawcyk1986
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 183
Rejestracja: 16 lut 2007, o 13:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Żyki
Podziękował: 51 razy

Pierwiastki liczb zespolonych - prośba o wyjaśnienie

Post autor: gawcyk1986 »

Jest sobie takie zadanie jak poniżej. Wszystko fajnie, ale nigdy nie mogę zrozumieć skąd się bierze ta wielokrotność w liczniku. Być może nie wiem do końca jak zastosować wzór Moivre'a. Bardzo prosiłbym o wytłumaczenie w sposób zrozumiały dla takiego laika jak ja o co w tym liczniku biega.

\(\displaystyle{ -1 = cos {\Pi} + isin {\Pi}
\\
\\
\sqrt[4]{-1} _0 = cos\frac{\Pi}4} +isin\frac{\Pi}4}
\\
\\
\sqrt[4]{-1} _1 = cos\frac{3\Pi}4} +isin\frac{3\Pi}4}
\\
\\
\sqrt[4]{-1} _2 = cos\frac{5\Pi}4} +isin\frac{5\Pi}4}
\\
\\
\sqrt[4]{-1} _3 = cos\frac{7\Pi}4} +isin\frac{7\Pi}4}}\)
Ostatnio zmieniony 17 lut 2007, o 21:46 przez gawcyk1986, łącznie zmieniany 2 razy.
Awatar użytkownika
Calasilyar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

Pierwiastki liczb zespolonych - prośba o wyjaśnienie

Post autor: Calasilyar »

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}(cos{(\frac{x+2k\pi}{n})}+isin{(\frac{x+2k\pi}{n})})}\)

postac trygonometryczna liczby zespolonej
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{-1}=cos{\pi}+isin{\pi}}\)

i dalej wzór de Moivre'a
\(\displaystyle{ k=0\\
(\sqrt[4]{-1})_{0}=cos{(\frac{\pi+0}{4})}+isin{(\frac{\pi+0}{4})}=cos{(\frac{\pi}{4})}+isin{(\frac{\pi}{4})}\\
k=1\\
(\sqrt[4]{-1})_{1}=cos{(\frac{\pi+2\pi}{4})}+isin{(\frac{\pi+2\pi}{4})}=cos{(\frac{3\pi}{4})}+isin{(\frac{3\pi}{4})}\\
k=2\\
(\sqrt[4]{-1})_{2}=cos{(\frac{\pi+4\pi}{4})}+isin{(\frac{\pi+4\pi}{4})}=cos{(\frac{5\pi}{4})}+isin{(\frac{5\pi}{4})}\\
k=3\\
(\sqrt[4]{-1})_{3}=cos{(\frac{\pi+6\pi}{4})}+isin{(\frac{\pi+6\pi}{4})}=cos{(\frac{7\pi}{4})}+isin{(\frac{7\pi}{4})}\\}\)


myślę, że jest już dość jasne :)
gawcyk1986
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 183
Rejestracja: 16 lut 2007, o 13:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Żyki
Podziękował: 51 razy

Pierwiastki liczb zespolonych - prośba o wyjaśnienie

Post autor: gawcyk1986 »

A mam jeszcze takie pytanie, bo ładnie to Pan wyżej przedstawił i dziękuję. a jak mam taki przykład z ułamkiem to co się wtedy robi? Co mnoży a co dodaje?

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{-i} = cos\frac{3\Pi}2} +isin\frac{3\Pi}2}
\\
\\
(\sqrt[4]{-i}) _0 = cos\frac{3\Pi}8} +isin\frac{3\Pi}8}
\\
\\
(\sqrt[4]{-1}) _1 = cos\frac{7\Pi}8} +isin\frac{7\Pi}7}
\\
\\
(\sqrt[4]{-1}) _2 = cos\frac{11\Pi}8} +isin\frac{11\Pi}4}
\\
\\
(\sqrt[4]{-1}) _3 = cos\frac{15\Pi}8} +isin\frac{15\Pi}4}}\)
Awatar użytkownika
Calasilyar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

Pierwiastki liczb zespolonych - prośba o wyjaśnienie

Post autor: Calasilyar »

tutaj po prostu tym \(\displaystyle{ x}\) z wzoru de Moivre'a będzie \(\displaystyle{ \frac{3}{2}\pi}\), natomiast n będzie równe 4 (pierwiastek stopnia 4). chyba nie ma potrzeby rozpisywania tego jak wyżej, ale jak będziesz chciał, to nie ma problemu :)
gawcyk1986 pisze:Pan
a tam, taki stary to ja nie jestem :P ;) :mrgreen:
gawcyk1986
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 183
Rejestracja: 16 lut 2007, o 13:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Żyki
Podziękował: 51 razy

Pierwiastki liczb zespolonych - prośba o wyjaśnienie

Post autor: gawcyk1986 »

Bardzo dziękuję teraz już wiem, jakie to proste. Jeszcze raz dziękuję.
ODPOWIEDZ