Dziwny przykład z przeliczania liczb zespolonych. HARD!

[xavier189]

Zapisz w postaci algebraicznej:
1) \(\displaystyle{ \sqrt{i}=}\)
2) \(\displaystyle{ i^{i\sqrt{2}}=}\)
3) \(\displaystyle{ \sin (2i)=}\)
4) \(\displaystyle{ \sin (\sqrt{i}-1)=}\)

Te przykłady to jakieś kosmiczne. Jakby ktoś miał jakiś pomysł to proszę o pomoc

[octahedron]

\(\displaystyle{ \sqrt{i}=\sqrt{e^{i\frac{\pi}{2}}}=e^{i\frac{\pi}{4}}\,\vee\,e^{i\frac{3\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\,\vee\,-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\\\\
i^{i\sqrt{2}}=e^{\ln i^{i\sqrt{2}}}=e^{i\sqrt{2}\ln i}=e^{i\sqrt{2}\ln e^{i\frac{\pi}{2}}}=e^{i\sqrt{2}\cdot i\frac{\pi}{2}}=e^{-\frac{\pi}{\sqrt{2}}}\\\\
\sin(2i)=\frac{e^{i(2i)}-e^{-i(2i)}}{2i}=i\cdot\frac{e^{2}-e^{-2}}{2}\\\\
\sin (\sqrt{i}-1)=\frac{e^{i(\sqrt{i}-1)}-e^{-i(\sqrt{i}-1)}}{2i}=\frac{e^{i(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}-1)}-e^{-i(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}-1)}}{2i}=\\
=\frac{e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-1\right)}-e^{\frac{\sqrt{2}}{2}-i\left(\frac{\sqrt{2}}{2}}-1\right)}{2i}=\\=\frac{e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\left( \cos\left( \frac{\sqrt{2}}{2}-1\right) +i\sin\left( \frac{\sqrt{2}}{2}-1\right) \right) -e^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\left(\cos\left( \frac{\sqrt{2}}{2}-1\right) -i\sin\left( \frac{\sqrt{2}}{2}-1\right) \right) }{2i}=\\=\frac{\sin\left( \frac{\sqrt{2}}{2}-1 \right) \left(e^{\frac{\sqrt{2}}{2}}+e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\right) +i\cos\left( \frac{\sqrt{2}}{2}-1\right) \left(e^{\frac{\sqrt{2}}{2}} -e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\right) }{2}\\\\
\text{analogicznie z }\sqrt{i}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

[ocelon]

W ostatatnim przykładzie między 1 a 2 linijką, co się stało z -1 ? Chyba zgubiłeś

[octahedron]

Ano zgubiłem, ale chyba już teraz jest dobrze.

[wilczynski]

a może ktoś rozwinąć tą analogię do przykładu 1? bardzo proszę bo mi coś nie wychodzi z tym..

[octahedron]

Przykład 1 robi się ze wzoru na pierwiastek liczby zespolonej:
\(\displaystyle{ z=re^{i\varphi}\\
\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\varphi+2k\pi}{n}},\,k=0,1,...,n-1}\)
ale można też tak:
\(\displaystyle{ \sqrt{i}=i^{\frac{1}{2}}=e^{\ln i^{\frac{1}{2}}}=e^{\frac{1}{2}\ln i}=e^{\frac{1}{2}\ln e^{i\frac{\pi+2k\pi}{2}}}=e^{\frac{1}{2}\cdot i\frac{\pi+2k\pi}{2}}=e^{i\frac{\pi+2k\pi}{4}}}\)
i dla kolejnych wartości \(\displaystyle{ k}\) dostajemy na przemian obie wartości pierwiastka

[wilczynski]

dziękuję