Oblicz. sinus i potęgowanie

[ocelon]

Poproszę o sprawdzenie.

\(\displaystyle{ \sin ( \sqrt{i}-1)= \frac{ e^{i( \sqrt{i}-1)}-e^{-i( \sqrt{i}-1)}}{2i}=i \frac{ \frac{e^i}{e^ \frac{3}{2} }- \frac{e^ \frac{3}{2} }{e^i} }{2}= i\frac{e^{i^2}-e^3}{2e^{i \frac{3}{2}} }=i \frac{ \frac{1-e^4}{e} }{2i\ln \frac{3}{2} }= \frac{e^4-1}{2e\ln \frac{3}{2} }}\)

Nie wiem czy dobrze zrobiłem z tym przejściem na logarytm. Reszta moim zdaniem powinna być ok.
Tu przedstawiam tok rozumowania z logarytmem:
\(\displaystyle{ e^{ i\frac{3}{2}}={e^{(\frac{3}{2})}}^{i}= \ln(\frac{3}{2})^i = i\ln\frac{3}{2}}\)

I jeszcze jedno , nie mam pojęcia jak się zabrać za to.

\(\displaystyle{ i^{ \sqrt{2}i}}\)

Proszę o podpowiedź, a nie rozwiązanie

[Dasio11]

Definicja brzmi:

\(\displaystyle{ z^{\mu} = e^{\mu \mathrm{Log} \; z}}\)

więc oblicz najpierw \(\displaystyle{ \mathrm{Log} \; \mathrm i,}\) a potem \(\displaystyle{ \mathrm i ^{\sqrt{2} \mathrm i}.}\)

Pierwsze źle, zacznij w ogóle od policzenia \(\displaystyle{ \sqrt{ \mathrm i}.}\)

[ocelon]

Tego sinusa trzeba rozpatrzeć na 2 przypadki ? \(\displaystyle{ \ln i = \frac{i \pi}{2}, \sqrt{i} = \frac{ \sqrt{2} }{2}+ \frac{i \sqrt{2} }{2} \vee \frac{ -\sqrt{2} }{2}- \frac{i \sqrt{2} }{2}}\)


\(\displaystyle{ \sqrt{i}=a+ib | (...)^2}\)
\(\displaystyle{ i = a^2 +2iab - b^2}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a^2-b^2= 0\\2ab=1\\a^2+b^2=1 \end{array}}\)
\(\displaystyle{ a^2 = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a= \frac{ \sqrt{2} }{2} \\b= \frac{ \sqrt{2} }{2}\end{array}}\)
\(\displaystyle{ \vee}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a= \frac{ -\sqrt{2} }{2} \\b= \frac{ -\sqrt{2} }{2}\end{array}}\)



\(\displaystyle{ i^{i \sqrt{2}}=e^{ \sqrt{2}i \ln i} = e^{ \sqrt{2}i* \frac{i \pi}{2}} = \frac{1}{e^{ \frac{ \sqrt{2} \pi }{2} }}}\)

Możesz mi jeszcze powiedzieć czy mój tok rozumowania z logarytmem jest poprawny?

[Dasio11]

Wszystko się zgadza. Pozostaje wyznaczyć część urojoną i rzeczywistą obydwu wartości liczby \(\displaystyle{ \sqrt{ \mathrm i} - 1}\) i skorzystać ze wzoru

\(\displaystyle{ \sin (x+\mathrm iy) = \sin x \cosh y + \mathrm i \cos x \sinh y.}\)

[ocelon]

A nie powinienem skorzystać tutaj ze wzoru:
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{e^{i \alpha } - e^{-i \alpha }}{2i}}\)

Na uczelni nie operuję jeszcze sinh i cosh

[Dasio11]

Można. Wyjdzie na to samo, tylko w rozpisanej postaci, tj. z

\(\displaystyle{ \cosh y = \frac{e^{y} + e^{-y}}{2} \\ \\
\sinh y = \frac{e^{y} - e^{-y}}{2}}\)

[ocelon]

Dochodzę do postaci :

\(\displaystyle{ \frac{i}{2e^{ \frac{ \sqrt{2} }{2} }} \cdot \frac{e^{ \sqrt{2} }-e^{i \left( \sqrt{2}-2 \right) } }{e^{i \left( \frac{ \sqrt{2}-2 }{2} \right) }}}\)

Co z tym zrobić ? Zamienić na trygonometryczną czy można mnożyć przez sprzężenie ?

Jeszcze jedno, jak wygląda postać trygonometryczna sprzężonej postaci wykładniczej ? \(\displaystyle{ e^{-i \ \alpha }}\)