wyznacz dwoma spos. pierwiastki i wyraz przez pierwiastniki

[strzyga]

Wyznacz dwoma sposobami pierwiastki 5 stopnia z 1 i wyraź przez pierwiastniki
a) \(\displaystyle{ cos \frac{4 \pi }{5}}\)
b) \(\displaystyle{ sin \frac{4 \pi }{5}}\)

jestem całkowicie zielona, nie wiem jak to zrobić

[miodzio1988]

Pierwszy sposób to wzór de Moivre'a. Jak ten wór wygląda?

[strzyga]

\(\displaystyle{ \left( a+bi\right) ^{n} = \left| z\right| ^{n} \left( cos n \phi + isin n \phi \right)}\)

[miodzio1988]

Na pierwiastki wzór...

[Mariusz M]

Moze tak

\(\displaystyle{ \left( \cos{x}+i\sin{x}\right)^{5}=e^{5ix}\\
\left( \cos{x}+i\sin{x}\right)^{5}=\cos{5x}+i\sin{5x}}\)
Z dwumianu Newtona wystarczy teraz skorzystac


Można też zauważyć że liczba \(\displaystyle{ \cos{\left( \frac{4\pi}{5} \right) }+i\sin{\left( \frac{4\pi}{5} \right) }}\)
jest jednym z pierwiastków piątego stopnia z jedynki
Należy więc rozwiązać równanie \(\displaystyle{ z^{5}-1=0}\)

\(\displaystyle{ z^5-1=\left( z-1\right)\left( z^4+z^3+z^2+z+1\right)=0}\)

\(\displaystyle{ z^4+z^3+z^2+z+1=0\\
z^4+z^3-\left( -z^2-z-1\right)=0\\
z^4+z^3+ \frac{z^2}{4}-\left( - \frac{3}{4}z^2-z-1 \right)=0\\
\left( z^2+ \frac{z}{2} \right)^2-\left( - \frac{3}{4}z^2-z-1 \right)=0\\
\left( z^2+ \frac{z}{2}+ \frac{y}{2} \right)^2-\left( \left( y- \frac{3}{4} \right)x^2+\left( \frac{y}{2}-1 \right)x+ \frac{y^2}{4}-1 \right)=0\\
\left( z^2+ \frac{z}{2}+ \frac{y}{2} \right)^2-\left(\left( y- \frac{3}{4} \right)x^2+\left( \frac{y}{2}-1 \right)x+\left( \frac{y}{2}-1 \right)\left( \frac{y}{2}+1 \right) \right) =0\\
y=2\\
\left( z^2+ \frac{z}{2}+1 \right)^2- \frac{5}{4}x^2=0\\
\left( z^2+\left( \frac{1- \sqrt{5} }{2} \right)x+1 \right)\left( z^2+\left( \frac{1+ \sqrt{5} }{2} \right)x+1 \right)=0}\)

[Dasio11]

Jeśli pierwiastki nazwiemy sobie

\(\displaystyle{ \varepsilon_k = \cos \frac{2 k \pi}{5} + \mathrm i \sin \frac{2k \pi}{5},}\)

to

\(\displaystyle{ \cos \frac{4 \pi}{5} = \frac{1}{2} \left( \cos \frac{4 \pi}{5} + \mathrm i \sin\frac{4 \pi}{5} \right) + \frac{1}{2} \left( \cos \left( - \frac{4 \pi}{5} \right) + \mathrm i \sin \left(- \frac{4 \pi}{5} \right) \right) = \frac{1}{2} \left( \varepsilon_2 + \varepsilon_{-2} \right) = \frac{\varepsilon_2 + \varepsilon_3}{2} \\ \\ \\
\sin \frac{4 \pi}{5} = \frac{1}{2 \mathrm i} \left( \cos \frac{4 \pi}{5} + \mathrm i \sin\frac{4 \pi}{5} \right) - \frac{1}{2 \mathrm i} \left( \cos \left( - \frac{4 \pi}{5} \right) + \mathrm i \sin \left(- \frac{4 \pi}{5} \right) \right) = \frac{\varepsilon_2 - \varepsilon_3}{2 \mathrm i}}\)

[Mariusz M]

Jeśli pierwiastki nazwiemy sobie

\(\displaystyle{ \varepsilon_k = \cos \frac{2 k \pi}{5} + \mathrm i \sin \frac{2k \pi}{5},}\)

to

\(\displaystyle{ \cos \frac{4 \pi}{5} = \frac{1}{2} \left( \cos \frac{4 \pi}{5} + \mathrm i \sin\frac{4 \pi}{5} \right) + \frac{1}{2} \left( \cos \left( - \frac{4 \pi}{5} \right) + \mathrm i \sin \left(- \frac{4 \pi}{5} \right) \right) = \frac{1}{2} \left( \varepsilon_2 + \varepsilon_{-2} \right) = \frac{\varepsilon_2 + \varepsilon_3}{2} \\ \\ \\
\sin \frac{4 \pi}{5} = \frac{1}{2 \mathrm i} \left( \cos \frac{4 \pi}{5} + \mathrm i \sin\frac{4 \pi}{5} \right) - \frac{1}{2 \mathrm i} \left( \cos \left( - \frac{4 \pi}{5} \right) + \mathrm i \sin \left(- \frac{4 \pi}{5} \right) \right) = \frac{\varepsilon_2 - \varepsilon_3}{2 \mathrm i}}\)

@Dasio tylko co to da
Mamy wyrazic wartosc cosinusa i sinusa przez pierwiastniki wiec najlepszym pomyslem
wydaje mi sie rozwiazanie rownania

\(\displaystyle{ z^{5}-1=0}\)

W poprzedniej wiadomosci rozlozylem go na czynniki co najwyzej kwadratowe
Wyboru odpowiednich wartosci mozna dokonac w oparciu o to ze kat ktory nas interesuje lezy w drugiej cwiartce

[Dasio11]

A, przeczytałem "wyraź przez pierwiastki"... W takim razie moja podpowiedź ma sens tylko wtedy, gdy znamy wartość \(\displaystyle{ \cos \frac{4 \pi}{5}.}\)