Dla jakich liczb zespolonych liczba \(\displaystyle{ |z_{1}-z_{2}|}\) jest odległością euklidesową pomiędzy
\(\displaystyle{ z_{1}}\) i \(\displaystyle{ z_{2}}\) traktowanymi jako punkty płaszczyzny
odległość euklidesowa
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
odległość euklidesowa
Niech \(\displaystyle{ z_1=x_1+iy_1, z_2=x_2+iy_2}\). Mamy \(\displaystyle{ |z_1-z_2|=|(x_1-x_2)+i(y_1-y_2)|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}}\).
Widać, że jest to też odległość między \(\displaystyle{ z_1, z_2}\), traktowanymi jako punkty płaszczyzny (tj. \(\displaystyle{ z_1=(x_1,y_1), z_2=(x_2,y_2)}\)).
Fakt ten zachodzi dla dowolnych \(\displaystyle{ z_1, z_2}\).
Widać, że jest to też odległość między \(\displaystyle{ z_1, z_2}\), traktowanymi jako punkty płaszczyzny (tj. \(\displaystyle{ z_1=(x_1,y_1), z_2=(x_2,y_2)}\)).
Fakt ten zachodzi dla dowolnych \(\displaystyle{ z_1, z_2}\).
odległość euklidesowa
Dzięki, jeszcze mam 2 inne:
Dla jakich liczb zespolonych prawdziwe są zależności:
1.\(\displaystyle{ | z - z_{1} |=| z - z_{2} |}\)
2.\(\displaystyle{ | z_{1} + z_{2} | = | z_{1} | + | z_{2} |}\)
Dla jakich liczb zespolonych prawdziwe są zależności:
1.\(\displaystyle{ | z - z_{1} |=| z - z_{2} |}\)
2.\(\displaystyle{ | z_{1} + z_{2} | = | z_{1} | + | z_{2} |}\)
Ostatnio zmieniony 11 mar 2012, o 20:45 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Umieszczaj CAŁE wyrażenia matematyczne między jedną parą tagów[latex], [/latex]
Powód: Umieszczaj CAŁE wyrażenia matematyczne między jedną parą tagów
-
Kmitah
- Użytkownik
- Posty: 179
- Rejestracja: 16 lut 2012, o 16:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suwałki / Białystok
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 28 razy
odległość euklidesowa
Niech \(\displaystyle{ z_1=x_1+y_1i}\), \(\displaystyle{ z_2=x_2+y_2i}\).
I sposób:
2. \(\displaystyle{ L=|z_1+z_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2}}\)
\(\displaystyle{ P=|z_1|+|z_2|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}+\sqrt{x_2^2+y_2^2}}\)
Przyrównaj \(\displaystyle{ L=P}\), podnieś obustronnie do kwadratu, poskracaj co się da, potem znów podnieś do kwadratu, by pozbyć się ostatniego pierwiastka, znów poskracaj, co się da.
II sposób:
Z drugiej strony, zauważ, że jeśli jedna z tych 2 liczb jest liczbą rzeczywistą i druga --- liczbą czysto urojoną LUB co najmniej jedna z nich jest zerem, wtedy zadana równość zachodzi. I nie zachodzi dla innych liczb zespolonych, co można wykazać, pamiętając, że moduł generuje metrykę na \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\), tzn.:
\(\displaystyle{ d(a,b)=|a-b|}\), gdzie \(\displaystyle{ d(a,b)}\) jest odległością punktów \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) na płaszczyźnie. Spróbuj uzasadnić, że
\(\displaystyle{ d(z_1, -z_2) = d(z_1,0) + d(z_2, 0)}\)
jest spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ z_1, z_2}\) leżą na różnych osiach LUB co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ z_1, z_2}\) jest zerem,
I sposób:
2. \(\displaystyle{ L=|z_1+z_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2}}\)
\(\displaystyle{ P=|z_1|+|z_2|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}+\sqrt{x_2^2+y_2^2}}\)
Przyrównaj \(\displaystyle{ L=P}\), podnieś obustronnie do kwadratu, poskracaj co się da, potem znów podnieś do kwadratu, by pozbyć się ostatniego pierwiastka, znów poskracaj, co się da.
II sposób:
Z drugiej strony, zauważ, że jeśli jedna z tych 2 liczb jest liczbą rzeczywistą i druga --- liczbą czysto urojoną LUB co najmniej jedna z nich jest zerem, wtedy zadana równość zachodzi. I nie zachodzi dla innych liczb zespolonych, co można wykazać, pamiętając, że moduł generuje metrykę na \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\), tzn.:
\(\displaystyle{ d(a,b)=|a-b|}\), gdzie \(\displaystyle{ d(a,b)}\) jest odległością punktów \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) na płaszczyźnie. Spróbuj uzasadnić, że
\(\displaystyle{ d(z_1, -z_2) = d(z_1,0) + d(z_2, 0)}\)
jest spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ z_1, z_2}\) leżą na różnych osiach LUB co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ z_1, z_2}\) jest zerem,