Rozwiązać równania

[[2x2]]

Rozwiązać równania:
a)\(\displaystyle{ z^{4}+1=0}\)
b)\(\displaystyle{ jz^{2}-z+2j=0}\)

Jeśli się nie mylę to w a) będzie:
\(\displaystyle{ z_{0}=\cos \frac{ \pi }{4}+j\sin \frac{ \pi }{4}}\)

\(\displaystyle{ z_{1}=\cos \frac{ 3\pi }{4}+j\sin \frac{ 3\pi }{4}}\)

\(\displaystyle{ z_{2}=\cos \frac{ 5\pi }{4}+j\sin \frac{ 5\pi }{4}}\)

\(\displaystyle{ z_{3}=\cos \frac{ 7\pi }{4}+j\sin \frac{ 7\pi }{4}}\)
Dobrze?

Natomiast z podpunktem b mam problem

[ares41]

a) ok
b) jak każde kwadratowe - delta i pierwiastki

[ibag]

W podpunkcie a) czasem nie ma wyjść:
\(\displaystyle{ z_{1}=\sqrt{i}}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=\sqrt{-i}}\)
\(\displaystyle{ z_{3}=-\sqrt{i}}\)
\(\displaystyle{ z_{4}=-\sqrt{-i}}\)
?

[ares41]

ibag, wynik który otrzymałaś w Wolframie nie jest do końca poprawny, bo w zbiorze liczb zespolonych symbol \(\displaystyle{ \sqrt{}}\) nie ma jednoznacznego znaczenia.

[[2x2]]

b) jak każde kwadratowe - delta i pierwiastki

Czyli:
\(\displaystyle{ \Delta=-7j \\
z_0= \sqrt{ \frac{1- \sqrt{-7j} }{2j} } \\
z_1=- \sqrt{ \frac{1- \sqrt{-7j} }{2j} } \\
z_2= \sqrt{ \frac{1+ \sqrt{-7j} }{2j} } \\
z_3=- \sqrt{ \frac{1+ \sqrt{-7j} }{2j} }}\)

Coś takiego?

[ares41]

Mają być dwa pierwiastki ( dlaczego ? )
Pierwiastek z delty należy przedstawić w postaci \(\displaystyle{ a+bi}\)

[[2x2]]

Nie kumam tego.

[ares41]

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}}\) będzie postaci \(\displaystyle{ a+bj}\)
Czyli \(\displaystyle{ 7j=(a+bj)^2}\)
Podnieś do kwadratu i porównaj części rzeczywiste i urojone.

EDIT: Tutaj pomyliłeś się na samym początku - przelicz jeszcze raz deltę.

[[2x2]]

Czyli:
\(\displaystyle{ \Delta = 1-8j^2}\) ?

[ares41]

Tak. Ale można to bardziej uprościć - skorzystaj z def. jednostki urojonej.

[[2x2]]

Czyli rozwiązaniem będzie:

\(\displaystyle{ z_0= \sqrt{ \frac{1- \sqrt{1-8j^2} }{2j} }}\)

\(\displaystyle{ z_1=\sqrt{ \frac{1+ \sqrt{1-8j^2}}{2j}}}\)

Dobrze?

[ares41]

Symbol \(\displaystyle{ \sqrt{}}\) w zbiorze liczb zespolonych jest niejednoznaczny.

Zauważ, że \(\displaystyle{ \Delta= 1-8j^2=1-8 \cdot (-1)=9}\)

Dalej powinno być już prosto.

[[2x2]]

Czyli tak jak poprzednio pisałem, tylko zamiast \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}}\) wstawić liczbę 3?

[ares41]

Niezupełnie.
Wzór na pierwiastki to :
\(\displaystyle{ x= \frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}}\)
a nie
\(\displaystyle{ x= \sqrt{\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a} }}\)

Ukryta treść:    

Rozwiązanie to \(\displaystyle{ z=i}\) lub \(\displaystyle{ z=-2i}\)

[[2x2]]

Kurcze, nie wiem skąd mi się ten \(\displaystyle{ \sqrt}\) wziął, chyba z postów wyżej przepisywałem.
Dzięki za pomoc, niby proste zadanie a krwi napsuło.