o identyczności

[111sadysta]

Jeśli funkcje \(\displaystyle{ f,g}\) są holomorficzne takie, że\(\displaystyle{ \left\{ z \in C: \left| z \right| <3 \right\}}\), to\(\displaystyle{ f\left( \frac{1}{n} \right) = g \left( \frac{1}{n} +1\right)}\), \(\displaystyle{ f\left( \frac{i}{n} \right) =3-g \left( \frac{i}{n} \right)}\)

[szw1710]

Sformułuj porządnie zadanie. Na razie od ręki można wskazać wiele funkcji \(\displaystyle{ f,g}\) nie spełniających tej równości. Np. \(\displaystyle{ f(z)=0,}\) \(\displaystyle{ g(z)=1.}\)

[111sadysta]

Wyznacz wszystkie funkcje całkowite \(\displaystyle{ f,g}\) takie , że \(\displaystyle{ f\left( \frac{1}{n} \right) = g \left( \frac{1}{n} +1\right), f\left( \frac{i}{n} \right) =3-g \left( \frac{i}{n} \right)}\) dla każdego \(\displaystyle{ n=1,2,3,...}\)

[Dasio11]

Z równości

\(\displaystyle{ f(z) = g(z+1) \\
f(z)=3-g(z)}\)

pierwsza zachodzi na zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ \frac{1}{n}: n \in \mathbb N \right\},}\) a druga na \(\displaystyle{ \left\{ \frac{ \mathrm i}{n}: n \in \mathbb N \right\}.}\) Oba zbiory mają punkt skupienia w zerze, więc równości zachodzą na całej płaszczyźnie. Wystarczy więc znaleźć wszystkie funkcje całkowite \(\displaystyle{ g(z),}\) które spełniają

\(\displaystyle{ g(z+1)=3-g(z).}\)

[111sadysta]

\(\displaystyle{ f( \frac{1}{n})=g( \frac{1}{n}) i f(\frac{i}{n})=3-g(\frac{i}{n})}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n}=0}\) wiec \(\displaystyle{ f=g}\)

w tym drugim \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{i}{n}=0}\), wiec mamy równość \(\displaystyle{ f=3-g}\)

ale wiemy ze\(\displaystyle{ f=g}\) to wstawiamy to do równania \(\displaystyle{ f=3-g}\) i dostajemy
\(\displaystyle{ f=3-f}\)
\(\displaystyle{ 2f=3}\)
\(\displaystyle{ f= \frac{3}{2}}\) wiec \(\displaystyle{ f=g=\frac{3}{2}}\)

[Dasio11]

\(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{n} \right) = g \left( \frac{1}{n} \right)}\)

czy

\(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{n} \right) = g \left( \frac{1}{n} + 1 \right)}\)

dla każdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb N?}\)

W pierwszym przypadku jest tak, jak piszesz. W drugim chyba niełatwo.

[111sadysta]

a więc jak?

[Dasio11]

Wszystko zależy od tego, jak wygląda treść zadania:

\(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{n} \right) = g \left( \frac{1}{n} \right)}\)

czy

\(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{n} \right) = g \left( \frac{1}{n} + 1 \right)}\)

[111sadysta]

wexmy drugi przpadek