Rozwiązać równanie

[ibag]

Rozwiązać równanie z parametrem \(\displaystyle{ a}\):
\(\displaystyle{ \left|z \right|^{2} - 2iz+2a(1+i)=0}\) ; \(\displaystyle{ (a \ge 0)}\)
Mam wziąć dwa przypadki kiedy \(\displaystyle{ z \ge 0}\) i \(\displaystyle{ z<0}\)? Jaki warunek mam dać w zależności od parametru?

[leapi]

\(\displaystyle{ |x|= \begin{cases} x \\ -x \end{cases}}\)

gdy \(\displaystyle{ x\in R}\)

\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{a^2+b^2}}\), gdzie \(\displaystyle{ z=a+bi}\)

[ibag]

Własności, które napisałeś znam. Chyba mam problem z zastosowaniem tego.
Zrobiłam tak:
\(\displaystyle{ z \ge 0}\)
\(\displaystyle{ z^{2}-2iz+2a(1+i)=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=4i^{2}-4(2a+2ai)=4i^{2}-8a-8ai=-4-8a-8ai}\)

\(\displaystyle{ z<0}\)
\(\displaystyle{ z^{2}+2iz+2a(1+i)=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=4i^{2}-8a-8ai=-4-8a-8ai}\)

Do tego momentu doszłam, dalej nie wiem jak ruszyć.

[mizera03]

Trochę źle. Ja bym tak robił.

Niech \(\displaystyle{ z= c+ib}\). Zatem
\(\displaystyle{ |z|^2 = (\sqrt{c^2+b^2})^2 = c^2+b^2}\),
\(\displaystyle{ 2iz=2i(c+ib)=i \cdot 2c -2b}\)
\(\displaystyle{ 2a(1+i)=2a+ i \cdot 2a}\).
Mamy więc

\(\displaystyle{ c^2+b^2 - i \cdot 2c +2b + 2a+ i \cdot 2a = 0}\).

Powstaje układ równań:
..... (dalej se poradzisz chyba).

[ibag]

\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{x^2+y^2}}\)
\(\displaystyle{ {\left| z\right| }^2 ={(\sqrt{x^2+y^2})}^2=x^2+y^2}\)
\(\displaystyle{ z=x+iy}\)
\(\displaystyle{ 2iz=2i(x+iy)=2ix+2iy^2=2ix-2y}\)
\(\displaystyle{ 2a(1+i)=2a+2ai}\)
\(\displaystyle{ x^2+y^2-2ix+2y+2a+2ai=0}\)
Mam układ równań:
\(\displaystyle{ {x^2+y^2+2y+2a=0}}\)
\(\displaystyle{ {-2ix+2ai=0}}\)

Z czego:
\(\displaystyle{ x=a}\)
\(\displaystyle{ {x^2+y^2+2y+2a=0}}\)

Czyli mam do drugiego równania za \(\displaystyle{ x}\) wstawić \(\displaystyle{ a}\)? Czy za \(\displaystyle{ a}\) wstawić \(\displaystyle{ x}\)?

[leapi]

liczysz \(\displaystyle{ x,y}\)

[ibag]

Czyli
\(\displaystyle{ x=a}\)
\(\displaystyle{ a^2+y^2+2y+2a=0}\) ?

[leapi]

wyliczasz \(\displaystyle{ y}\)-- 7 mar 2012, o 20:54 --

Rozwiązać równanie z parametrem \(\displaystyle{ a}\):

odp: \(\displaystyle{ z=x+y i}\)

[ibag]

Czy mogę tu zrobić tak:

\(\displaystyle{ y^2+2y=-a^2-2a}\)

i porównać:

\(\displaystyle{ y^2=-a^2}\)
\(\displaystyle{ 2y=-2a}\)

Będzie to w porządku?

\(\displaystyle{ y=ai}\)
\(\displaystyle{ y=-a}\)

Czy muszę lecieć przez deltę? (Oby nie!)

[leapi]

a jaką liczbą jest \(\displaystyle{ y}\) - rzeczywstą-- 7 mar 2012, o 21:27 --Deltę można obejść podobnie jak w rówaniu
\(\displaystyle{ x^2+2x-10=0}\)

\(\displaystyle{ x^2+2x+1-11=0}\)

\(\displaystyle{ x^2+2x+1=11}\)

\(\displaystyle{ \left( x+1\right)^2=11}\)

\(\displaystyle{ x+1=\sqrt{11}}\) lub \(\displaystyle{ x+1=-\sqrt{11}}\)
pod warunkiem, że liczba po prawej stronie jest dodatnia. tak można

[ibag]

Faktycznie! Czyli muszę z delty lecieć.
\(\displaystyle{ y^2+2y+a^2+2a=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=4-4(a^2+2a)}\)

I żeby było rozwiązanie, \(\displaystyle{ \Delta}\) musi być \(\displaystyle{ \ge 0}\)
Więc:
\(\displaystyle{ -4a^2-8a-4 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=0}\)

\(\displaystyle{ a_{0} = -1}\)

I tak dalej ( już sobie popodstawiam, tylko proszę o sprawdzenie czy do tego momentu jest ok).