Udowodnij, ze liczba jest algebraiczna

[eweelinus75]

Hej. Pomozcie mi to roziwazac bo nawet nie wiem jak sie do tego zabrac

Dowiesc, ze liczba zespolona \(\displaystyle{ z}\) jest liczba algebraiczna wtedy i tylko wtedy, gdy liczba
sprzezona \(\displaystyle{ \overline{z}}\) jest liczba algebraiczna.

[bartek118]

Musisz pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ z}\) jest pierwiastkiem wielomianu, to \(\displaystyle{ \overline{z}}\) też. Podpowiem Ci, że jest to ten sam wielomian

[eweelinus75]

Dziękuję za podpowiedź. Ale mógłby ktoś tak dokładniej?

[mizera03]

Niech \(\displaystyle{ W(x)=a_{n}x^{n}+....+a_{1}x+a_{0}}\) będzie wielomianem, którego pierwiastkiem jest liczba zespolona \(\displaystyle{ z}\).

\(\displaystyle{ a_{n}z^{n}+....+a_{1}z+a_{0}=W(z) =0=\overline{0}=\overline{W(z)}= a_{n} \overline{z^{n}}+....+a_{1} \abs{z} +a_{0} = a_{n} \overline{z}^{n}+....+a_{1} \overline{z} +a_{0} = W(\overline{z})}\).

Czyli
\(\displaystyle{ W(z) = W(\overline{z})}\).

A więc jeśli \(\displaystyle{ z}\) jest liczba algebraiczna to i \(\displaystyle{ \overline{z}}\) jest liczba algebraiczna. I odwrotnie.

Chyba coś takiego. Ale nie wiem czy dobre mam tam "przejścia".

[eweelinus75]

Mam nadzieje ze to jest dobrze;) bo na jutro musze to przygotowac:(