Uprościć wyrażenie

[1991Kamil]

Sprowadzić wyrażenie do postaci \(\displaystyle{ a + bi}\)

\(\displaystyle{ \frac{\left( 1 + \sqrt{3}i\right) ^{2} \left( 1-i\right) ^{3}}{ \sqrt{3} + i} \cdot i ^{3}}\)

Jak zrobić to zadanie? Rozbić je na człony: \(\displaystyle{ \left( 1 + \sqrt{3}i\right) ^{2}}\), \(\displaystyle{ \left( 1-i\right) ^{3}}\), \(\displaystyle{ \sqrt{3} + i}\), \(\displaystyle{ i ^{3}}\) i obliczyć każdy z nich a potem wstawić jeszcze raz do ułamka?

[maciejsporysz]

Sposoby masz dwa. Pierwszy to sprowadzenie każdego członu do postaci trygonometrycznej, później wzory de Moivre'a (czyli mnożenie liczb zespolonych do mnożenie promieni a kąty się dodaje).
Sposób drugi to zastosowanie wzorów skróconego mnożenia i pamiętanie, że \(\displaystyle{ i^2=-1}\)

[lestkievich]

jak wybierzesz drugi to aby pozbyć sie z mianownika części urojonej mnożysz przez \(\displaystyle{ \frac{\sqrt {3}-i}{\sqrt{3}-i}}\) i w manowniku po zastosowania wzoru skróconego mnożenia uzyskujesz \(\displaystyle{ i^2=-1}\)