Wyprowadzić wzór na...

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
rolnik41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 472
Rejestracja: 3 gru 2007, o 14:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 241 razy
Pomógł: 4 razy

Wyprowadzić wzór na...

Post autor: rolnik41 »

Wyprowadzić wzór na \(\displaystyle{ \cos4\varphi}\).



\(\displaystyle{ z ^{4}=\left| z\right| ^{4}\left\{ \cos4\varphi+i\sin4\varphi\right\}}\)
\(\displaystyle{ z ^{4}=\left| z\right| ^{4}\cos4\varphi+\left| z\right| ^{4}i\sin4\varphi}\)
\(\displaystyle{ \cos4\varphi= \frac{z ^{4}-\left[ z\right] ^{4}i\sin4\varphi }{\left| z\right| ^{4} }}\)

Oto chodzi czy może mam skorzystać ze wzorów trygonometrycznych?
Awatar użytkownika
pyzol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Wyprowadzić wzór na...

Post autor: pyzol »

Po pierwsze bierzemy \(\displaystyle{ z}\), takie, że \(\displaystyle{ |z|=1}\).
\(\displaystyle{ z=\cos\phi+i\sin\phi\\
z^4=\cos 4\phi +i\sin 4\phi\\
z^4=\cos^4 \phi +4\cos^3 \phi \cdot i\sin \phi+...(\text{wzór Newtona})}\)

Policz do końca, przyrównaj części rzeczywiste.
rolnik41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 472
Rejestracja: 3 gru 2007, o 14:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 241 razy
Pomógł: 4 razy

Wyprowadzić wzór na...

Post autor: rolnik41 »

\(\displaystyle{ \cos4\varphi=\cos ^{4}\varphi+4\cos ^{3}\varphi+6\cos ^{2}\varphi+4\cos\varphi}\)

?

Czy \(\displaystyle{ \cos4\carphi=\cos ^{4}\varphi}\)
Awatar użytkownika
pyzol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Wyprowadzić wzór na...

Post autor: pyzol »

nie \(\displaystyle{ 4\cos^3 \phi \cdot i\sin \phi)}\)
to liczba urojona
podam łatwiejszy przykład na \(\displaystyle{ \cos 2\phi}\):
\(\displaystyle{ (\cos\phi + i\sin\phi)^2=\cos 2\phi +i\sin 2\phi\\
(\cos\phi + i\sin\phi)^2=\cos^2 \phi +2i\sin\phi -\sin^2 \phi}\)

Przyrównujemy teraz rzeczywiste liczby z obu równań:
\(\displaystyle{ \cos 2\phi=\cos^2 \phi-\sin^2 \phi}\)
rolnik41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 472
Rejestracja: 3 gru 2007, o 14:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 241 razy
Pomógł: 4 razy

Wyprowadzić wzór na...

Post autor: rolnik41 »

A nie powinno być:

\(\displaystyle{ \left( \cos\varphi+i\sin\varphi\right) ^{2}=\cos ^{2}\varphi+2\cos\varphi \cdot i\sin\varphi-\sin ^{2}\varphi}\)

?
Awatar użytkownika
pyzol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Wyprowadzić wzór na...

Post autor: pyzol »

Tak powinno być, błąd drukarski
ODPOWIEDZ