Potęgowanie liczby zespolonej

[ibag]

Mam do obliczenia:
\(\displaystyle{ {\left( 1-\frac{\sqrt{3}-i}{2}\right)}^{24}}\)

Moduł wyszedł mi równy \(\displaystyle{ \sqrt{2-\sqrt{3}}}\)
A \(\displaystyle{ \cos {x}}\), oraz \(\displaystyle{ \sin {x}}\) wychodzą mi straszne. Co mam z tym zrobić?

[MarcinSzydlowski]

Okazuje się, że nie taki diabeł straszny jak go malują.
Patrz
\(\displaystyle{ \sin x= \frac{2- \sqrt{3} }{2} \cdot \frac{1}{ \sqrt{2- \sqrt{3} } }= \sqrt{ \frac{2- \sqrt{3} }{4} } = \sqrt{ \frac{4 \cdot (2- \sqrt{3}) }{4 \cdot 4} }= \sqrt{ \frac{( \sqrt{6} - \sqrt{2 })^2 }{4 \cdot 4} } = \frac{ \sqrt{6}-\sqrt{2} }{ 4} \Rightarrow \sin x = \frac{\pi }{12}+ 2k \pi \ \vee \sin x = \frac{11 }{12} \pi + 2k \pi, \ k \in Z}\)

[ibag]

Jak wpadłeś na to, żeby pomnożyć tu razy 4? Kombinowałeś, czy od razu widać, że tak trzeba, a ja mam zaćmienie?
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{4 \cdot (2- \sqrt{3}) }{4 \cdot 4} }= \sqrt{ \frac{( \sqrt{6} - \sqrt{2 })^2 }{4 \cdot 4} } = \frac{ \sqrt{6}-\sqrt{2} }{ 4}}\)

Ps. W Twoim zapisie zamiast \(\displaystyle{ sin(x)}\), powinien być \(\displaystyle{ cos(x)}\)

[MarcinSzydlowski]

Musiało tak być, bo w przeciwnym razie zadanie byłoby zbyt długie (podnoszenie na biegusia czterokrotne \(\displaystyle{ ((w^2)^2)^2)^3}\)

[Dasio11]

Można też wiedzieć, że \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3} - \mathrm i}{2}}\) ma moduł jeden, więc odejmowanie

\(\displaystyle{ 1- \frac{\sqrt{3}-\mathrm i}{2}}\)

da w wyniku (na płaszczyźnie) czwarty wierzchołek rombu, którego pierwsze trzy to \(\displaystyle{ 0, 1, -\frac{\sqrt{3}-\mathrm i}{2}.}\) Przekątna od wierzchołka \(\displaystyle{ 0}\) do wierzchołka \(\displaystyle{ -\frac{\sqrt{3}-\mathrm i}{2}}\) podzieli kąt rombu na pół, więc

\(\displaystyle{ \mathrm{Arg} \; \left( 1- \frac{\sqrt{3}-\mathrm i}{2} \right) = \frac{1}{2} \mathrm{ Arg} \; \left( - \frac{\sqrt{3} - \mathrm i}{2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5\pi}{6} = \frac{5\pi}{12}.}\)