Rownanie zespolone

[piwuch]

Przedstaw rozwiązanie w postaci algebraicznej i wykładniczej.
\(\displaystyle{ z ^{3} =8-8i}\)

W postaci wykładniczej jest to dosyć łatwe jednak ciężko z niej przejść do postaci algebraicznej.
Sensownym wydaje mi się rozwiązanie układu:
\(\displaystyle{ a ^{3}-3ab ^{2} = 8}\)
\(\displaystyle{ -b ^{3}+3a ^{2}b=-8}\)
Niestety zapomniałem/nigdy nie umiałem tego robic i nie mogę sobie z tym poradzić.

[ares41]

Będą trzy rozwiązania.

Łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ 8-8i=8 \left( 1-i \right) =8 \sqrt{2} \left( \cos \frac{7\pi}{4}+ i \sin \frac{7\pi}{4} \right)}\)
Czyli mamy do rozwiązania:
\(\displaystyle{ z^3=8 \sqrt{2} \left( \cos \frac{7\pi}{4}+ i \sin \frac{7\pi}{4} \right)}\)

Skorzystaj ze wzoru na pierwiastki.

[Qń]

Z postaci wykładniczej da się przejść do algebraicznej, trzeba tylko policzyć funkcje trygonometryczne kąta \(\displaystyle{ 15^o}\) (co nie jest trudne).

Jeśli natomiast chcesz rozwiązania czysto algebraicznego, to dodaj te równości stronami:
\(\displaystyle{ a^3-b^3 + 3ab(a-b)=0\\
(a-b)(a^2+4ab+b^2)=0}\)
Drugi nawias można potraktować jako trójmian kwadratowy od \(\displaystyle{ a}\), skąd \(\displaystyle{ a=(-2\pm \sqrt{3})b}\). Mamy więc trzy opcje na to jak zależy \(\displaystyle{ a}\) od \(\displaystyle{ b}\) - wystarczy wstawić to do któregokolwiek z równań.

Q.

[piwuch]

Tak chodziło o rozwiązanie czysto algebraiczne, ponieważ w pewnych sytuacjach nie ma możliwości wstukania w kalkulator ile wynosi dany kosinus.

[Qń]

Można bez kalkulatora:
\(\displaystyle{ \sin 15^o=x\\
\cos 15^o = y\\
2xy = \sin 30^o = \frac 12\\
x^2+y^2=1}\)
skąd po dodaniu stronami:
\(\displaystyle{ x+y=\frac{\sqrt{6}}{2}}\)
i już łatwo wyznaczyć \(\displaystyle{ x,y}\).

Q.

[Dasio11]

Albo wręcz

\(\displaystyle{ \cos^2 15^{\circ} = \frac{1+\cos^2 15^{\circ}-\sin^2 15^{\circ}}{2} = \frac{1+\cos 30^{\circ}}{2} \\ \\
\sin^2 15^{\circ} = 1-\cos^2 15^{\circ}.}\)