Potęgowanie liczb zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
1991Kamil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 19 gru 2011, o 01:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: md
Podziękował: 4 razy

Potęgowanie liczb zespolonych

Post autor: 1991Kamil »

Obliczyć i zapisać w najprostszej postaci.

1) \(\displaystyle{ \left( 5 + 5i \sqrt{3} \right) ^{150}}\)

2) \(\displaystyle{ \left( -1 - \sqrt{3}i \right) ^{5}}\)

Odp:

1)

\(\displaystyle{ \left( 5 + 5i \sqrt{3} \right) ^{150}}\)

\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{\left( 5\right) ^{2} + \left( 5\sqrt{3}\right) ^{2}} = \sqrt{25 + \left(3 \cdot 25 \right)} = \sqrt{25 + 75} = \sqrt{100} = 10}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos \varphi = \frac{a}{\left| z\right|} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \\ \sin \varphi = \frac{b}{\left| z\right|} = \frac{5 \sqrt{3}}{10} = \frac{ \sqrt{3}}{2} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ + \cos \setminus + \sin \Rightarrow \ I\ cw.}\)

\(\displaystyle{ \varphi = \alpha _{0}\\
\alpha _{0} = \frac{ \pi }{3} \\
\varphi = \frac{ \pi }{3} = \frac{1}{3} \pi}\)


\(\displaystyle{ \left( 5 + 5i \sqrt{3} \right) ^{150} = 10^{150} \left( \cos \left( 150 \cdot \frac{ \pi }{3}\right) + i\sin \left( 150 \cdot \frac{\pi }{3}\right)\right) = 10^{150} \left( \cos \frac{150 \pi }{3} + i\sin \frac{150\pi }{3}\right) = 10^{150} \left( \cos 50 \pi + i\sin 50\pi\right) = 10^{150} \left( \cos 0 + i\sin 0 \right) = 10^{150}i}\)

Tak to ma być? Trzeba wyciągać liczbę z tej potęgi \(\displaystyle{ 150}\)? Nie lubię liczyć takich dużych potęg. Jest na to jakis łatwy sposób?


2)

\(\displaystyle{ \left( -1 - \sqrt{3}i \right) ^{5}}\)

\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{\left( -1\right) ^{2} + \left( \sqrt{3}\right) ^{2}} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos \varphi = \frac{a}{\left| z\right|} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2} \\ \sin \varphi = \frac{b}{\left| z\right|} = \frac{- \sqrt{3}}{2} = -\frac{ \sqrt{3}}{2} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ - \cos \setminus -\sin \Rightarrow \ III\ cw.}\)

\(\displaystyle{ \varphi = \pi + \alpha _{0}\\
\alpha _{0} = \frac{ \pi }{3} \\
\varphi = \pi +\frac{ \pi }{3} = 1 \frac{1}{3} \pi = \frac{4 \pi }{3}}\)


\(\displaystyle{ \left( -1 - \sqrt{3}i \right) ^{5} = 2 ^{5} \left( \cos \left( 5 \cdot \frac{4 \pi }{3}\right) + i\sin \left( 5 \cdot \frac{4 \pi }{3}\right)\right) = 32 \left( \cos \left( \frac{20 \pi }{3}\right) + i\sin \left(\frac{20 \pi }{3}\right)\right) = 32 \left( \cos \left( 6 \frac{2}{3} \pi \right) + i\sin \left( 6 \frac{2}{3} \pi \right)\right) = 32 \left( \cos \left( 6 \pi + \frac{2 \pi }{3} \right) + i\sin \left( 6 \pi + \frac{2 \pi }{3} \right)\right) = 32 \left( \cos \frac{2}{3} \pi + i\sin \frac{2}{3} \pi \right) = 32 \left( \cos \left( \pi - \frac{ \pi }{3}\right) + i\sin \left( \pi - \frac{ \pi }{3}\right) \right) = 32 \left(-\cos \frac{ \pi }{3} - i\sin \frac{ \pi }{3} \right) = 32 \left( - \frac{1}{2} - i\frac{ \sqrt{3}}{2}\right) = -16 - 16 \sqrt{3}i}\)

Dobry wynik? W odpowiedziach do zadań było \(\displaystyle{ -16 + 16 \sqrt{3}}\). W którym miejscu popełniłem błąd?
Ostatnio zmieniony 23 lut 2012, o 11:27 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 Instrukcji LaTeX-a.
Awatar użytkownika
pyzol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Potęgowanie liczb zespolonych

Post autor: pyzol »

1. \(\displaystyle{ \sin 0=0,\cos 0=1}\)
2. \(\displaystyle{ \sin\left( \pi-\frac{\pi}{3}\right)=\sin\frac{\pi}{3}}\)
Więcej błędów się nie dopatrzyłem, co nie znaczy, że ich nie ma.
JoyMusic
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 167
Rejestracja: 2 paź 2008, o 19:50
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 58 razy
Pomógł: 1 raz

Potęgowanie liczb zespolonych

Post autor: JoyMusic »

Cosinus jest f. parzystą, więc w tym drugim przykładzie będzie z plusem.
1991Kamil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 19 gru 2011, o 01:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: md
Podziękował: 4 razy

Potęgowanie liczb zespolonych

Post autor: 1991Kamil »

JoyMusic pisze:Cosinus jest f. parzystą, więc w tym drugim przykładzie będzie z plusem.
Ale wyszedł mi \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}}\) Dla minusa cosinus też jest dodatni?

pyzol pisze: 2. \(\displaystyle{ \sin\left( \pi-\frac{\pi}{3}\right)=\sin\frac{\pi}{3}}\)
Więcej błędów się nie dopatrzyłem, co nie znaczy, że ich nie ma.
Właśnie tak napisałem.
Awatar użytkownika
pyzol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Potęgowanie liczb zespolonych

Post autor: pyzol »

No nie bo masz \(\displaystyle{ -i\sin\frac{\pi}{3}}\), powinno być dodać.
ODPOWIEDZ