Witam. Mam problem z równaniami, których pierwiastki mają spełniać warunek. Problem leży właśnie w warunku, który ma taką oto postać:
\(\displaystyle{ |z+i| \le 3}\)
lub drugi przypadek, którego nie rozumiem:
\(\displaystyle{ |z-2+i|>2}\)
Jak rozwiązać taką nierówność inaczej niż geometrycznie, czyli tak, żebym widział jakie wcześniej liczone pierwiastki jakiegoś równania się w nim zawierają.
Nierówności, w których 'z' jest w module
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Nierówności, w których 'z' jest w module
Najwygodniej zapisz \(\displaystyle{ z=x+iy}\), wtedy np. w pierwszej nierówności dostaniesz
\(\displaystyle{ |z+i|\le3}\)
\(\displaystyle{ |x+iy+i|\le3}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+(y+1)^2}\le3\ \big|^2}\)
\(\displaystyle{ x^2+(y+1)^2\le9}\)
a ta nierówność opisuje koło ośrodku \(\displaystyle{ (0,-1)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 3}\).
W drugim analogicznie, tylko dostaniesz "zewnętrze" pewnego koła.
\(\displaystyle{ |z+i|\le3}\)
\(\displaystyle{ |x+iy+i|\le3}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+(y+1)^2}\le3\ \big|^2}\)
\(\displaystyle{ x^2+(y+1)^2\le9}\)
a ta nierówność opisuje koło ośrodku \(\displaystyle{ (0,-1)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 3}\).
W drugim analogicznie, tylko dostaniesz "zewnętrze" pewnego koła.
-
JoyMusic
- Użytkownik
- Posty: 167
- Rejestracja: 2 paź 2008, o 19:50
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 58 razy
- Pomógł: 1 raz
Nierówności, w których 'z' jest w module
Ok masz racje ale to jest rozwiązanie geometryczne i jak np. teraz w takim zadaniu:
Znaleźć pierwiastki równania \(\displaystyle{ (z ^{2} +9)(z ^{2} +(2-2i)z+1-2i)=0}\) spełniające warunek (1.)
stwierdzić, dzięki tej interpretacji geometrycznej, które pierwiastki spełniają tę nierówność?
Znaleźć pierwiastki równania \(\displaystyle{ (z ^{2} +9)(z ^{2} +(2-2i)z+1-2i)=0}\) spełniające warunek (1.)
stwierdzić, dzięki tej interpretacji geometrycznej, które pierwiastki spełniają tę nierówność?
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Nierówności, w których 'z' jest w module
A, to chcesz koniecznie uniknąć geometrii.
No np. w twoim równaniu jednym z pierwiastków jest \(\displaystyle{ z=3i}\).
To wtedy najzwyczajniej w świecie podstawiasz to do tego warunku dostając \(\displaystyle{ |3i+i|\le3}\) co nie jest prawdą, czyli ten pierwiastek nie spełnia tego warunku, ale już np. pierwiastek \(\displaystyle{ z=-3i}\) ten warunek spełnia. Podobnie należy sprawdzić te inne pierwiastki.
Wtedy nie będzie już żadnej geometrii.
No np. w twoim równaniu jednym z pierwiastków jest \(\displaystyle{ z=3i}\).
To wtedy najzwyczajniej w świecie podstawiasz to do tego warunku dostając \(\displaystyle{ |3i+i|\le3}\) co nie jest prawdą, czyli ten pierwiastek nie spełnia tego warunku, ale już np. pierwiastek \(\displaystyle{ z=-3i}\) ten warunek spełnia. Podobnie należy sprawdzić te inne pierwiastki.
Wtedy nie będzie już żadnej geometrii.
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Nierówności, w których 'z' jest w module
OK, pierwszym pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ z=3i}\).
Warunek który należy sprawdzić to \(\displaystyle{ |z+i|\le3}\).
Podstawiam za \(\displaystyle{ z}\) do tego warunku \(\displaystyle{ 3i}\) i otrzymuję \(\displaystyle{ |3i+i|\le3}\).
To oznacza, że \(\displaystyle{ |4i|\le3}\), czyli \(\displaystyle{ \sqrt{0+4^2}\le3}\), a zatem \(\displaystyle{ 4\le3}\) co nie jest prawdą.
Natomiast dla kolejnego pierwiastka \(\displaystyle{ z=-3i}\) dostaniemy kolejno
\(\displaystyle{ |-3i+i|\le3}\)
\(\displaystyle{ |-2i|\le3}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{0+(-2)^2}\le3}\)
\(\displaystyle{ 2\le3}\)
a to jest prawdą, czyli ten pierwiastek spełnia warunek.
Podobnie robisz z pozostałymi pierwiastkami (tymi z równania kwadratowego).
Warunek który należy sprawdzić to \(\displaystyle{ |z+i|\le3}\).
Podstawiam za \(\displaystyle{ z}\) do tego warunku \(\displaystyle{ 3i}\) i otrzymuję \(\displaystyle{ |3i+i|\le3}\).
To oznacza, że \(\displaystyle{ |4i|\le3}\), czyli \(\displaystyle{ \sqrt{0+4^2}\le3}\), a zatem \(\displaystyle{ 4\le3}\) co nie jest prawdą.
Natomiast dla kolejnego pierwiastka \(\displaystyle{ z=-3i}\) dostaniemy kolejno
\(\displaystyle{ |-3i+i|\le3}\)
\(\displaystyle{ |-2i|\le3}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{0+(-2)^2}\le3}\)
\(\displaystyle{ 2\le3}\)
a to jest prawdą, czyli ten pierwiastek spełnia warunek.
Podobnie robisz z pozostałymi pierwiastkami (tymi z równania kwadratowego).