Nierówność zespolona (weryfikacja)

[Radarsu]

Narysować zbiór liczb \(\displaystyle{ z \in C}\), które spełniają nierówność \(\displaystyle{ Re\left( \frac{4-\bar{z}}{\bar{z} } \right) \le 0}\).

I teraz:

\(\displaystyle{ Re\left(\frac{4-a+bi}{a-bi} \right) \le 0 \Rightarrow \frac{4-a}{a} \le 0 \Rightarrow a \ge 4}\)

Zbiór zaś to dla osi \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) wszystkie \(\displaystyle{ x \ge 4}\) przy dowolnych \(\displaystyle{ y}\). Zgadza się?

[ares41]

Wskazówka:
\(\displaystyle{ \frac{4-a+bi}{a-bi} =\frac{(4-a+bi)(a+bi)}{a^2+b^2} =\ldots}\)

[Qń]

\(\displaystyle{ Re\left(\frac{4-a+bi}{a-bi} \right) \le 0 \Rightarrow \frac{4-a}{a}}\)

Nie, nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ Re \left( \frac zw\right) =\frac{Rez}{Rew}}\).
Trzeba pomnożyć licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika:
\(\displaystyle{ \frac{4-a+bi}{a-bi}= \frac{(4-a+bi)(a+bi)}{(a-bi)(a+bi)}=\frac{4a+4bi-a^2-b^2}{a^2+b^2}=\\ =\frac{4a-b^2-a^2}{a^2+b^2}+ i \cdot \frac{4b}{a^2+b^2}}\)

Q.

[Radarsu]

\(\displaystyle{ \frac{4a-b^2-a^2}{a^2+b^2}+ i \cdot \frac{4b}{a^2+b^2}}\)

Czy mam więc z tego, że \(\displaystyle{ b=0}\) i odpowiedzią jest:

\(\displaystyle{ \frac{4a-a^2}{a^2} \le 0 \Rightarrow 4a-a^2 \le 0 \Rightarrow R-\left( 0,4\right)}\)

A rysunek będzie wyglądał jakoś tak? Dowolne \(\displaystyle{ y}\) dla \(\displaystyle{ x}\) z przedziału \(\displaystyle{ R-\left( 0,4\right)}\)

///////////----/---////////////
///////////----|----/////////////
///////////----|----/////////////
///////////----|----/////////////
------------------------------------------>
//////////-4---|---4/////////////
///////////----|----/////////////
///////////----|----/////////////
///////////----/---////////////

Nie bardzo wiem jak narysować zbiór liczb zespolonych. Czy oś \(\displaystyle{ x}\) ma odpowiadać \(\displaystyle{ a}\), zaś oś \(\displaystyle{ y}\) ma odpowiadać \(\displaystyle{ b}\), ze wzoru \(\displaystyle{ z=a+bi}\)?

[Dasio11]

Czy mam więc z tego, że \(\displaystyle{ b=0}\)

Nie. Na przykład liczba \(\displaystyle{ w=-3+\mathrm i}\) spełnia \(\displaystyle{ \mathrm{Re} \; w \le 0,}\) a jej część urojona nie jest równa zero.