Pytanie mam raczej ogólne, ale może lepiej na przykładzie:
\(\displaystyle{ \frac{11}{3}-\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{1}{2}(20+\sqrt{-972})}-\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{1}{2}(20-\sqrt{-972})}}\) - Jak mam wykazać, że jest to liczba naturalna? Jak mam traktować w działaniach \(\displaystyle{ \sqrt{-972}}\) skoro ten pierwiastek przyjmuje dwie różne wartości zespolone?
Pewne działania na liczbach zespolonych
-
tatteredspire
- Użytkownik
- Posty: 716
- Rejestracja: 2 wrz 2009, o 21:59
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 83 razy
- Pomógł: 74 razy
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Pewne działania na liczbach zespolonych
Można zauważyć, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left( 20+ \sqrt{-972} \right) = \left( 2.5 + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{-1} \right)^3.}\)
Twoje wątpliwości dotyczące pierwiastków są słuszne. Z takich dwóch równości (które przydałyby się przy upraszczaniu wyrażenia):
\(\displaystyle{ \sqrt{-1}= \mathrm i \\ \\
\sqrt[3]{\left( 2.5 + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{-1} \right)^3} = 2.5 + \frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm i}\)
nie wolno skorzystać, bo są co najmniej niejasne. Napisane przez ciebie wyrażenie jest wieloznaczne - ma wiele wartości zespolonych, a tylko niektóre okazują się być liczbami naturalnymi. Treść zadania jest wobec tego błędna, chyba że symbole \(\displaystyle{ \sqrt{\cdot}, \sqrt[3]{\cdot}}\) uprzednio zdefiniuje się jako wartość główną tych pierwiastków, czyli
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z} = e^{\frac{1}{n} \mathrm{Log} \; z}.}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left( 20+ \sqrt{-972} \right) = \left( 2.5 + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{-1} \right)^3.}\)
Twoje wątpliwości dotyczące pierwiastków są słuszne. Z takich dwóch równości (które przydałyby się przy upraszczaniu wyrażenia):
\(\displaystyle{ \sqrt{-1}= \mathrm i \\ \\
\sqrt[3]{\left( 2.5 + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{-1} \right)^3} = 2.5 + \frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm i}\)
nie wolno skorzystać, bo są co najmniej niejasne. Napisane przez ciebie wyrażenie jest wieloznaczne - ma wiele wartości zespolonych, a tylko niektóre okazują się być liczbami naturalnymi. Treść zadania jest wobec tego błędna, chyba że symbole \(\displaystyle{ \sqrt{\cdot}, \sqrt[3]{\cdot}}\) uprzednio zdefiniuje się jako wartość główną tych pierwiastków, czyli
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z} = e^{\frac{1}{n} \mathrm{Log} \; z}.}\)
-
tatteredspire
- Użytkownik
- Posty: 716
- Rejestracja: 2 wrz 2009, o 21:59
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 83 razy
- Pomógł: 74 razy
Pewne działania na liczbach zespolonych
Wolfram alpha podaje mi jednoznacznie (nie mam pojęcia jak to oblicza, wszystkie przypadki rozważa i mu na jedno wychodzi?), że \(\displaystyle{ \frac{11}{3}-\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{1}{2}(20+\sqrt{-972})}-\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{1}{2}(20-\sqrt{-972})}=2}\).
Z drugiej strony jak mamy równanie \(\displaystyle{ x^3-11x^2+38x-40=0}\), to jego pierwiastkami są liczby \(\displaystyle{ 2,4,5}\). Wyznaczając je bezpośrendio ze wzorów na pierwiastki równania sześciennego, otrzymuję:
\(\displaystyle{ x_0=\frac{11}{3}-\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{1}{2}(20+\sqrt{-972})}-\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{1}{2}(20-\sqrt{-972})} \\ x_1=\frac{11}{3}+\frac{1+i
\sqrt{3}}{6}\sqrt[3]{\frac{1}{2}(20+\sqrt{-972})}+\frac{1-i\sqrt{3}}{6}\sqrt[3]{\frac{1}{2}(20-\sqrt{-972})} \\ x_3=\frac{11}{3}+\frac{1-i\sqrt{3}}{6}\sqrt[3]{\frac{1}{2}(20+\sqrt{-972})}+\frac{1+i\sqrt{3}}{3}\sqrt[3]{\frac{1}{2}(20-\sqrt{-972})}}\)
Tak więc chyba musi być \(\displaystyle{ x_0=2 \vee x_0=4 \vee x_0=5}\). Nie wiem co o tym myśleć...
Z drugiej strony jak mamy równanie \(\displaystyle{ x^3-11x^2+38x-40=0}\), to jego pierwiastkami są liczby \(\displaystyle{ 2,4,5}\). Wyznaczając je bezpośrendio ze wzorów na pierwiastki równania sześciennego, otrzymuję:
\(\displaystyle{ x_0=\frac{11}{3}-\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{1}{2}(20+\sqrt{-972})}-\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{1}{2}(20-\sqrt{-972})} \\ x_1=\frac{11}{3}+\frac{1+i
\sqrt{3}}{6}\sqrt[3]{\frac{1}{2}(20+\sqrt{-972})}+\frac{1-i\sqrt{3}}{6}\sqrt[3]{\frac{1}{2}(20-\sqrt{-972})} \\ x_3=\frac{11}{3}+\frac{1-i\sqrt{3}}{6}\sqrt[3]{\frac{1}{2}(20+\sqrt{-972})}+\frac{1+i\sqrt{3}}{3}\sqrt[3]{\frac{1}{2}(20-\sqrt{-972})}}\)
Tak więc chyba musi być \(\displaystyle{ x_0=2 \vee x_0=4 \vee x_0=5}\). Nie wiem co o tym myśleć...
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Pewne działania na liczbach zespolonych
Przy wzorach Cardano mamy trochę więcej swobody przy operowanie znakiem \(\displaystyle{ \sqrt[3]{\cdot},}\) ale wciąż trzeba pamiętać, co mamy na myśli. Algorytm wyznaczania pierwiastków z tych wzorów jest, w tym konkretnym przypadku, taki:
\(\displaystyle{ \bullet}\) Znajdujemy taką parę pierwiastków
\(\displaystyle{ \begin{cases} u=-\frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left( 20+ \sqrt{972} \cdot \mathrm i \right)} \\ \\ v=-\frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left( 20- \sqrt{972} \cdot \mathrm i \right)} \end{cases} \quad (*)}\)
że
\(\displaystyle{ uv=-\frac{p}{3}, \qquad \qquad (\star)}\)
gdzie \(\displaystyle{ p=-\frac{b^2-3ac}{3a^2} = -\frac{7}{3}.}\) Możemy wziąć np.
\(\displaystyle{ u=-\frac{1}{3} \left( 2.5 + \frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm i \right) \\ \\
v= -\frac{1}{3} \left( 2.5 - \frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm i \right)}\)
bo wtedy
\(\displaystyle{ uv= \frac{1}{9} \left( 2.5^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 \right) = \frac{7}{9} = -\frac{p}{3}.}\)
Uwaga: jeśli nie dopilnujemy, by zachodziło \(\displaystyle{ (\star),}\) możemy dostać fałszywe pierwiastki równania wyjściowego. Jeśli zaś weźmiemy inne wartości pierwiastków \(\displaystyle{ (*),}\) które za to spełniają \(\displaystyle{ (\star),}\) zmianie ulegnie jedynie kolejność pierwiastków we wzorach, które podałeś.
\(\displaystyle{ \bullet}\) Nasze pierwiastki to:
\(\displaystyle{ x_1 = \frac{11}{3} +u+v=2 \\ \\
x_2=\frac{11}{3} + \left( -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm i \right) \cdot u + \left( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm i \right) \cdot v=4 \\ \\
x_3=\frac{11}{3} + \left( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm i \right) \cdot u + \left( -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm i \right) \cdot v=5}\)
Algorytm ten (a w szczególności warunek \(\displaystyle{ (\star)}\) ) wynika z wyprowadzenia wzorów na pierwiastki, które możesz znaleźć np. w długaśnym artykule Rogala (klik).
\(\displaystyle{ \bullet}\) Znajdujemy taką parę pierwiastków
\(\displaystyle{ \begin{cases} u=-\frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left( 20+ \sqrt{972} \cdot \mathrm i \right)} \\ \\ v=-\frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left( 20- \sqrt{972} \cdot \mathrm i \right)} \end{cases} \quad (*)}\)
że
\(\displaystyle{ uv=-\frac{p}{3}, \qquad \qquad (\star)}\)
gdzie \(\displaystyle{ p=-\frac{b^2-3ac}{3a^2} = -\frac{7}{3}.}\) Możemy wziąć np.
\(\displaystyle{ u=-\frac{1}{3} \left( 2.5 + \frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm i \right) \\ \\
v= -\frac{1}{3} \left( 2.5 - \frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm i \right)}\)
bo wtedy
\(\displaystyle{ uv= \frac{1}{9} \left( 2.5^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 \right) = \frac{7}{9} = -\frac{p}{3}.}\)
Uwaga: jeśli nie dopilnujemy, by zachodziło \(\displaystyle{ (\star),}\) możemy dostać fałszywe pierwiastki równania wyjściowego. Jeśli zaś weźmiemy inne wartości pierwiastków \(\displaystyle{ (*),}\) które za to spełniają \(\displaystyle{ (\star),}\) zmianie ulegnie jedynie kolejność pierwiastków we wzorach, które podałeś.
\(\displaystyle{ \bullet}\) Nasze pierwiastki to:
\(\displaystyle{ x_1 = \frac{11}{3} +u+v=2 \\ \\
x_2=\frac{11}{3} + \left( -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm i \right) \cdot u + \left( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm i \right) \cdot v=4 \\ \\
x_3=\frac{11}{3} + \left( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm i \right) \cdot u + \left( -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm i \right) \cdot v=5}\)
Algorytm ten (a w szczególności warunek \(\displaystyle{ (\star)}\) ) wynika z wyprowadzenia wzorów na pierwiastki, które możesz znaleźć np. w długaśnym artykule Rogala (klik).