Wyznaczyć i przedstawić na płaszczyźnie zespolonej wszystkie rozwiązania równania:
\(\displaystyle{ \left| z\right|+z=6+2i, z \in C}\)
Równanie liczb zespolonych.
-
Radarsu
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 24 sty 2012, o 13:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: W-wa
- Podziękował: 2 razy
Równanie liczb zespolonych.
No to jedziemy:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}+x+iy=6+2i}\)
Więc\(\displaystyle{ iy=2i \Rightarrow y=2}\), a więc:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+4}+x=6}\)
\(\displaystyle{ x^2+4=x^2-12x+36}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{8}{3}}\)
Nie rozumiem za bardzo, na jakiej podstawie moduł z liczby zespolonej z ma równać się pierwiastkowi z \(\displaystyle{ x^2+y^2}\), ale tak znalazłem na wikipedii. Byłbym wdzięczny za jakieś proste objaśnienie, bo na chłopski rozum to po podstawieniu za \(\displaystyle{ z=x+yi}\), wychodziłoby, że moduł ten to:
\(\displaystyle{ \sqrt{ x^2-y^2+2xyi}}\)
I teraz - wiem, że to jest źle, bo ma wyjść chyba kilka rozwiązań, wynikałoby z treści zadania. Proszę więc o dalsze wskazówki.
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}+x+iy=6+2i}\)
Więc\(\displaystyle{ iy=2i \Rightarrow y=2}\), a więc:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+4}+x=6}\)
\(\displaystyle{ x^2+4=x^2-12x+36}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{8}{3}}\)
Nie rozumiem za bardzo, na jakiej podstawie moduł z liczby zespolonej z ma równać się pierwiastkowi z \(\displaystyle{ x^2+y^2}\), ale tak znalazłem na wikipedii. Byłbym wdzięczny za jakieś proste objaśnienie, bo na chłopski rozum to po podstawieniu za \(\displaystyle{ z=x+yi}\), wychodziłoby, że moduł ten to:
\(\displaystyle{ \sqrt{ x^2-y^2+2xyi}}\)
I teraz - wiem, że to jest źle, bo ma wyjść chyba kilka rozwiązań, wynikałoby z treści zadania. Proszę więc o dalsze wskazówki.
Ostatnio zmieniony 20 lut 2012, o 22:44 przez Qń, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepełne użycie LaTeX-a. Wszystkie wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex]
Powód: Niepełne użycie LaTeX-a. Wszystkie wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Równanie liczb zespolonych.
Po pierwsze: nie sformułowałeś ostatecznej odpowiedzi - z Twoich rachunków wynika, że jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ z=\frac 83 + 2i}\).
Po drugie: jest to prawidłowa odpowiedź, a ilustracja graficzna zbioru rozwiązań to po prostu punkt na płaszczyźnie.
Po trzecie: rzeczywiście dla liczb rzeczywistych jest \(\displaystyle{ |x|=\sqrt{x^2}}\). Ale to tylko szczególny przypadek ogólnej definicji modułu liczby zespolonej, a ta definicja to \(\displaystyle{ |x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}}\). I jest to definicja jak najbardziej intuicyjna, jeśli tylko spojrzy się na interpretację geometryczną.
Q.
Po drugie: jest to prawidłowa odpowiedź, a ilustracja graficzna zbioru rozwiązań to po prostu punkt na płaszczyźnie.
Po trzecie: rzeczywiście dla liczb rzeczywistych jest \(\displaystyle{ |x|=\sqrt{x^2}}\). Ale to tylko szczególny przypadek ogólnej definicji modułu liczby zespolonej, a ta definicja to \(\displaystyle{ |x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}}\). I jest to definicja jak najbardziej intuicyjna, jeśli tylko spojrzy się na interpretację geometryczną.
Q.