Witam.
Mam do rozwiązania równanie w dziedzinie liczby zespolonych:
\(\displaystyle{ \sqrt[ 4 ]{(9-2i) ^{4}}}\)
Proszę o podpowiedź jak zacząć, bo nie mam pojęcia jak najlepiej będzie rozpisać tą liczbę.
Rozwiązać równie w dziedzinie liczb zespolonych
-
- Użytkownik
- Posty: 115
- Rejestracja: 9 gru 2007, o 10:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 7 razy
Rozwiązać równie w dziedzinie liczb zespolonych
Jeden pierwiastek zespolony równania już masz : \(\displaystyle{ 9-2i}\)
Skorzystaj później z interpretacji trygonometrycznej i zastosuj odpowiedni wzór na znalezienie pozostałych.
Pierwiastek liczby zespolonej
Skorzystaj później z interpretacji trygonometrycznej i zastosuj odpowiedni wzór na znalezienie pozostałych.
Pierwiastek liczby zespolonej
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 5 lut 2012, o 15:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3 razy
Rozwiązać równie w dziedzinie liczb zespolonych
Dzięki za odpowiedź.
Własnie próbowałem w taki sposób liczyć, ale nie potrafię potem policzyć argumentu. Wychodzi mi \(\displaystyle{ \alpha =12,5*}\).
Własnie próbowałem w taki sposób liczyć, ale nie potrafię potem policzyć argumentu. Wychodzi mi \(\displaystyle{ \alpha =12,5*}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Rozwiązać równie w dziedzinie liczb zespolonych
Nie potrzebujesz żadnego kąta.
Jeśli chcemy policzyć pierwiastek \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z liczby zespolonej \(\displaystyle{ u}\), czyli rozwiązać równanie \(\displaystyle{ z^n=u}\), to w przypadku gdy uda nam się odgadnąć jedno rozwiązanie, to wszystkie innego otrzymujemy przez pomnożenie tego jednego przez pierwiastki \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z jedynki.
Istotnie, jeżeli to odgadnięte rozwiązanie to \(\displaystyle{ z_0}\), czyli \(\displaystyle{ z_0^n=u}\), to dla dowolnego pierwiastka z jedynki \(\displaystyle{ \varepsilon}\), to znaczy takiej liczby, że \(\displaystyle{ \varepsilon^n=1}\) mamy:
\(\displaystyle{ (z_0\varepsilon)^n= z_0^n\varepsilon^n = u\cdot 1 = u}\)
czyli \(\displaystyle{ z_0\varepsilon}\) też jest rozwiązaniem.
Wynika stąd, że pierwiastkami Twojego równania są:
\(\displaystyle{ (9-2i)\cdot 1\\
(9-2i)\cdot (-1)\\
(9-2i)\cdot i\\
(9-2i)\cdot (-i)}\)
Q.
Jeśli chcemy policzyć pierwiastek \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z liczby zespolonej \(\displaystyle{ u}\), czyli rozwiązać równanie \(\displaystyle{ z^n=u}\), to w przypadku gdy uda nam się odgadnąć jedno rozwiązanie, to wszystkie innego otrzymujemy przez pomnożenie tego jednego przez pierwiastki \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z jedynki.
Istotnie, jeżeli to odgadnięte rozwiązanie to \(\displaystyle{ z_0}\), czyli \(\displaystyle{ z_0^n=u}\), to dla dowolnego pierwiastka z jedynki \(\displaystyle{ \varepsilon}\), to znaczy takiej liczby, że \(\displaystyle{ \varepsilon^n=1}\) mamy:
\(\displaystyle{ (z_0\varepsilon)^n= z_0^n\varepsilon^n = u\cdot 1 = u}\)
czyli \(\displaystyle{ z_0\varepsilon}\) też jest rozwiązaniem.
Wynika stąd, że pierwiastkami Twojego równania są:
\(\displaystyle{ (9-2i)\cdot 1\\
(9-2i)\cdot (-1)\\
(9-2i)\cdot i\\
(9-2i)\cdot (-i)}\)
Q.