Rozwiązać równie w dziedzinie liczb zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
user1234
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 5 lut 2012, o 15:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy

Rozwiązać równie w dziedzinie liczb zespolonych

Post autor: user1234 »

Witam.
Mam do rozwiązania równanie w dziedzinie liczby zespolonych:
\(\displaystyle{ \sqrt[ 4 ]{(9-2i) ^{4}}}\)
Proszę o podpowiedź jak zacząć, bo nie mam pojęcia jak najlepiej będzie rozpisać tą liczbę.
djlinux
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 115
Rejestracja: 9 gru 2007, o 10:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 7 razy

Rozwiązać równie w dziedzinie liczb zespolonych

Post autor: djlinux »

Jeden pierwiastek zespolony równania już masz : \(\displaystyle{ 9-2i}\)
Skorzystaj później z interpretacji trygonometrycznej i zastosuj odpowiedni wzór na znalezienie pozostałych.
Pierwiastek liczby zespolonej
user1234
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 5 lut 2012, o 15:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy

Rozwiązać równie w dziedzinie liczb zespolonych

Post autor: user1234 »

Dzięki za odpowiedź.
Własnie próbowałem w taki sposób liczyć, ale nie potrafię potem policzyć argumentu. Wychodzi mi \(\displaystyle{ \alpha =12,5*}\).
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Rozwiązać równie w dziedzinie liczb zespolonych

Post autor: »

Nie potrzebujesz żadnego kąta.

Jeśli chcemy policzyć pierwiastek \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z liczby zespolonej \(\displaystyle{ u}\), czyli rozwiązać równanie \(\displaystyle{ z^n=u}\), to w przypadku gdy uda nam się odgadnąć jedno rozwiązanie, to wszystkie innego otrzymujemy przez pomnożenie tego jednego przez pierwiastki \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z jedynki.

Istotnie, jeżeli to odgadnięte rozwiązanie to \(\displaystyle{ z_0}\), czyli \(\displaystyle{ z_0^n=u}\), to dla dowolnego pierwiastka z jedynki \(\displaystyle{ \varepsilon}\), to znaczy takiej liczby, że \(\displaystyle{ \varepsilon^n=1}\) mamy:
\(\displaystyle{ (z_0\varepsilon)^n= z_0^n\varepsilon^n = u\cdot 1 = u}\)
czyli \(\displaystyle{ z_0\varepsilon}\) też jest rozwiązaniem.

Wynika stąd, że pierwiastkami Twojego równania są:
\(\displaystyle{ (9-2i)\cdot 1\\
(9-2i)\cdot (-1)\\
(9-2i)\cdot i\\
(9-2i)\cdot (-i)}\)


Q.
user1234
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 5 lut 2012, o 15:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy

Rozwiązać równie w dziedzinie liczb zespolonych

Post autor: user1234 »

Dziękuję bardzo za pomoc, teraz wszystko jasne.
ODPOWIEDZ