rozwiązać równanie (4 stopnia)

[jodyna]

\(\displaystyle{ z^{4}+\left( 4+i\right)z^{2}+4i=0}\)
użyłam parametru \(\displaystyle{ t=z ^{2}}\)
i \(\displaystyle{ \Delta=15-8i}\) dalej zrobiłam z \(\displaystyle{ z=x+yi}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}-y ^{2}=15}\)
\(\displaystyle{ 2xyi=-8i}\) nie wiem czy dobrze ale policzyłam
\(\displaystyle{ x= -\frac{ \sqrt{14} }{7}}\)
\(\displaystyle{ y=14 \sqrt{14}}\)
wiem że z tego wzoru na \(\displaystyle{ z}\) mam \(\displaystyle{ t_{1}=- \frac{ \sqrt{14} }{7}+14 \sqrt{14}i}\)
ale nie wiem jak policzyć resztę pierwiastków.

[Soldiero]

Chyba coś Ci t źle wychodzi ;p

\(\displaystyle{ z^{4} + (4+i)z^{2} + 4i = 0}\)
\(\displaystyle{ z^{2} = t}\)

\(\displaystyle{ t^{2} + (4+i)t + 4i = 0}\)

\(\displaystyle{ \Delta = 15 - 8i}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2} - y^{2} = 15\\ 2xy = -8 \\ x^{2} + y^{2} = \sqrt{(15^{2} + (-8)^{2}} = 17 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ x = 4 \vee x = -4}\)

\(\displaystyle{ y = -1 \vee y = 1}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}= \left\{ 4 - i, -4 + i\right\}}\)

\(\displaystyle{ t _{1} = -4}\)

\(\displaystyle{ t_{2} = -i}\)

\(\displaystyle{ z^{2} = -4}\)
\(\displaystyle{ z = \sqrt{-4}}\)
\(\displaystyle{ z_{1} = 2i}\)
\(\displaystyle{ z_{2} = -2i}\)

Teraz pozostało wyliczyć dwa pierwiastki dla \(\displaystyle{ t_{2}}\).

[jodyna]

czemu \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=\left\{ 4-i,-4+i\right\}}\)
jak \(\displaystyle{ \Delta=15-8i}\)?

[Soldiero]

Takie wyszły pierwiastki z tej delty.