Liczby zespolone na płaszczyźnie

[serekdrogba]

Narysować na płaszczyźnie zbiór punktów:

\(\displaystyle{ |z+2|-|z-2|=3}\)

[chris_f]

Można od razu z interpretacji geometrycznej, ale formalnie robi się to następująco: niech \(\displaystyle{ z=x+iy}\). Wtedy mamy
\(\displaystyle{ |z+2|-|z-2|=3}\)
\(\displaystyle{ |x+iy+2|-|x+iy-2|=3}\)
\(\displaystyle{ |(x+2)+iy|-|(x-2)+iy|=3}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{(x+2)^2+y^2}-\sqrt{(x-2)^2+y^2}=3}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{(x+2)^2+y^2}=3+\sqrt{(x-2)^2+y^2}}\)
\(\displaystyle{ (x+2)^2+y^2=9+6\sqrt{(x-2)^2+y^2}+(x-2)^2+y^2}\)
\(\displaystyle{ x^2+4x+4+y^2=9+6\sqrt{(x-2)^2+y^2}+x^2-4x+4+y^2}\)
\(\displaystyle{ 8x-9=6\sqrt{(x-2)^2+y^2}}\)
\(\displaystyle{ 64x^2-144x+81=36x^2-144x+144+36y^2}\)
\(\displaystyle{ 28x^2-36y^2=63}\)
\(\displaystyle{ \frac{28x^2}{63}-\frac{36y^2}{63}=1}\)
No a to jest równanie hiperboli.

PS. Trzeba sprawdzić rachunki bo liczyłem w głowie.