narysować na płaszczyźnie zespolonej

[jodyna]

mam takie zadanie i nie wiem jak się za nie zabrać:
\(\displaystyle{ \left| z^{2} - \overline{z } ^{2} \right|\ge 4}\) Proszę o pomoc jak rozwiązać je krok po kroku.

[chris_f]

Niech \(\displaystyle{ z=x+iy}\). Wtedy
\(\displaystyle{ |z^2-\bar{z}^2|\ge4}\)
\(\displaystyle{ |(x+iy)^2-(x-iy)^2|\ge4}\)
\(\displaystyle{ |x^2+2xyi-y^2-x^2+2xyi+y^2|\ge4}\)
\(\displaystyle{ |4xyi|\ge4}\)
\(\displaystyle{ |4xy|>4}\)
\(\displaystyle{ 4xy>4\vee 4xy<-4}\)
\(\displaystyle{ y>\frac{1}{x}\vee y<-\frac{1}{x}}\)
Rysujesz te dwie hiperbole i zaznaczasz odpowiednie części.

[jodyna]

dziękuję bardzo bez tej końcówki tak rozwiązałam, ale wydawało mi się że to jest źle...

[Dasio11]

\(\displaystyle{ (x, y)=\left(-10, \frac{1}{20} \right)}\) nie spełnia \(\displaystyle{ |xy|>1,}\) a spełnia

\(\displaystyle{ y>\frac{1}{x}.}\)

Zbiorek \(\displaystyle{ |xy|=1}\) składa się z czterech hiperboli. Prawidłowym rozwiązaniem będzie zbiór punktów na tych hiperbolach i na zewnątrz nich, tzn. dalej od środka układu.