Potęga liczby zespolonej

[pawel30w]

Witam,
mam takie zadanko:

\(\displaystyle{ \frac{ \left( 1+i \right) ^n}{ \left( 1-i \right) ^{n-2}}}\)

Policzyłem osobno potęgę górnej części pierwiastka i dolnej. Następnie doszedłem do tego momentu (mam nadzieje ze dobrze policzone) i wyszło mi takie cuś:

\(\displaystyle{ z=\frac{ \left( \sqrt2 \right) ^n \left( \cos \cdot n\frac{\pi}{4} + i\sin \cdot n\frac{\pi}{4} \right) }{ \left( \sqrt2 \right) ^{n-2} \left( \cos \cdot n-2\cdot\frac{\pi}{4} + i\sin \cdot n-2\cdot\frac{\pi}{4} \right) }}\)

Myślę że do tej pory zrobiłem poprawnie.
Teraz zacząłem kombinować jak to poskracać i wyszło mi tak że

\(\displaystyle{ z= \left( \sqrt2 \right) ^2 = 2}\)

co oczywiście jest złym wynikiem.
Moje rozumowanie wyglądało tak że: sinus i cos są okresowe co dwa pi. Więc teoretycznie góra zawsze się będzie równała dołowi ponieważ będzie różnica 2 pi która nic nie wnosi.
No i skróciłem dół z górą i wyszło mi 2

W odpowiedziach jest wynik taki:
\(\displaystyle{ 2i^{n-1}}\)

Będę wdzięczy za pomoc
Pozdrawiam,
Paweł W.

[chris_f]

Wszystko zaczęło się robić źle jak zacząłeś kombinować. Gdy już obliczyłeś górę i dół, to trzeba było skorzystać ze wzoru na iloraz dwóch liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej
\(\displaystyle{ \frac{|z_1|(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)}{|z_2|(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)}=
\frac{|z_1|}{|z_2|}(\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2))}\)
i dopiero teraz doszukiwać się ewentualnie okresowości funkcji trygonometrycznych.

PS. Poza tym coś mi się nie podoba ta rozpiska trygonometryczna mianownika.