moduł postaci wykładniczej

[KasienkaG]

jak obliczyć \(\displaystyle{ \left| e^{i}\right|}\)?

[ares41]

\(\displaystyle{ |e^{i}|=|\cos1 + i \sin 1|= \sqrt{\cos^21 +\sin^21}=1}\)

[Kmitah]

\(\displaystyle{ e^{ix} = \cos x + i \sin x}\), czyli \(\displaystyle{ |e^i|=|e^{1i}|=|\cos 1 + i \sin 1|= \sqrt{\cos^2 1 + \sin^2 1} = 1}\).

Nawiasem mówiąc, zawsze \(\displaystyle{ |e^{ix}|}\), dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\) jest równy 1. Ma to związek z tym, że każdą liczbę zespoloną można zapisać w postaci \(\displaystyle{ z=|z|e^{ix}}\), a iloczyn modułów to moduł iloczynu. Liczby postaci \(\displaystyle{ e^{ix}}\) leżą na okręgu jednostkowym, zaś zbiór liczb tej postaci, dla \(\displaystyle{ xin[0; 2pi)}\) stanowi cały okrąg jednostkowy, tj. okrąg o środku w zerze i promieniu 1.