Równania w zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Azazell
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 14 sty 2007, o 23:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin

Równania w zespolonych

Post autor: Azazell »

Mam problem 3 zadaniami i prosiłbym chętnych aby mogli mi to wyliczyć i najlepiej w prosty sposób wyjaśniając jak to się liczy byłbym wdzięczny albo może wiedzą gdzie znajde do tych typu zadań już ujme to tak "poradnik"

1. Rozwiąż w liczbach Zespolonych równania:

\(\displaystyle{ x^{2}+2x+5=0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-(1-3i)x-2-2i=0}\)

2. Oblicz:

\(\displaystyle{ (2\sqrt{3}-2i)^{18}}\)
\(\displaystyle{ (\frac{1-\sqrt{3i}}{1+i})^{24}}\)

3. Rozwiąż w liczbach zespolonych równanie:

\(\displaystyle{ x^4= -1}\)
\(\displaystyle{ x^6= -i}\)

Temat nie na temat Poprawiam, ale następnym razem może byc srożej. Calasilyar
Ostatnio zmieniony 12 lut 2007, o 20:32 przez Azazell, łącznie zmieniany 8 razy.
sushi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3424
Rejestracja: 30 sie 2006, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 476 razy

Równania w zespolonych

Post autor: sushi »

w pierwszym delta wychodzi 4-20 =-16 = 16*i*i
pierwiastek z delty wynosi -4i i podstawiasz na zwykłe pierwiastki x1 i x2 równania
Azazell
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 14 sty 2007, o 23:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin

Równania w zespolonych

Post autor: Azazell »

kurcze mam problemy z prowadzeniem tego cholernego kodu Texa zaraz bedzie reszta zadań

dzięki a mógłbys mi to rozpisać ? dokładniej ? ale i tak mimo to dzieki!
luka52
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8601
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1816 razy

Równania w zespolonych

Post autor: luka52 »

1)
\(\displaystyle{ x^2+2x+5=0\\
\Delta = 4 - 4\cdot 5 = -16\\
x_{1,2} = \frac{-2 4i}{2} x_1 = -1 + 2i \;\; ; \;\; x_2 = -1-2i}\)
sushi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3424
Rejestracja: 30 sie 2006, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 476 razy

Równania w zespolonych

Post autor: sushi »

\(\displaystyle{ \Delta=-16= 16i^2}\)


\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}= \sqrt {16i^2}= 4i}\)


\(\displaystyle{ x1= \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a}}\)
\(\displaystyle{ x1= \frac{-2- 4i}{2}}\)

\(\displaystyle{ x2= \frac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a}}\)
\(\displaystyle{ x2= \frac{-2 + 4i}{2}}\)
Ostatnio zmieniony 12 lut 2007, o 13:17 przez sushi, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Calasilyar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

Równania w zespolonych

Post autor: Calasilyar »

Zad.3.
Możesz skorzystac z wzorów na pierwiastek liczby zespolonej, albo:
a)
\(\displaystyle{ x^{4}-(-1)=0\\
(x^{2}+i)(x^{2}-i)=0\\
(x-\sqrt{-i})(x+\sqrt{-i})(x-\sqrt{i})(x+\sqrt{i})=0\\
x_{1}=\sqrt{-i}\\
x_{2}=-\sqrt{-i}\\
x_{3}=\sqrt{i}\\
x_{4}=-\sqrt{i}\\}\)


b)
\(\displaystyle{ x^{6}-(-i)=0\\
(x^{3}-\sqrt{-i})(x^{3}+\sqrt{-i})=0\\}\)

i tu dalej wzorami na różnicę sześcianów itd. itp.
Azazell
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 14 sty 2007, o 23:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin

Równania w zespolonych

Post autor: Azazell »

Calasilyar ==> hmm kurcze dzięki za zadania ale hm jak to się robi te pierwiastkowania ? e chyba spojrzę w książki

dzięki ! a mógłbyś mi rozwinąć b) ? tam gdize napisałeś ze dalej wzorami na różnice itp ?
sushi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3424
Rejestracja: 30 sie 2006, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 476 razy

Równania w zespolonych

Post autor: sushi »

by zrobić pierwiastkowanie to trzeba najpierw policzyc |Z| i kat tej liczby a potem do wzoru

[ Dodano: 13 Luty 2007, 10:26 ]
\(\displaystyle{ x_k= \sqrt[n]{|Z|} \cdot \left ( \cos \frac{\alpha + 2 \cdot k \pi}{n} + i \cdot \sin \frac{\alpha + 2 \cdot k \pi}{n} \right)}\)
dla k= 0,1,2,.., n-1

[ Dodano: 13 Luty 2007, 10:30 ]
x^6= -i
wiec trzeba znaleźć kat alfa dla z= -i --> alfa = -270 stopni i potem n=6 i do wzoru
Awatar użytkownika
Calasilyar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

Równania w zespolonych

Post autor: Calasilyar »

Azazell pisze:a mógłbyś mi rozwinąć b) ? tam gdize napisałeś ze dalej wzorami na różnice itp ?
w takim razie proszę
\(\displaystyle{ (x^{3}-\sqrt{-i})(x^{3}+\sqrt{-i})=0\\
(x-\sqrt[6]{-i})(x^{2}+x\sqrt[6]{-i}+\sqrt[3]{-i})(x+\sqrt[6]{-i})(x^{2}-x\sqrt[6]{-i}+\sqrt[3]{-i})=0\\
x_{1,2}=\pm \sqrt[6]{-i}\\
x_{3,4}=\frac{-\sqrt[6]{-i}\pm 3\sqrt[3]{-i}}{2}\\
x_{5,6}=\frac{\sqrt[6]{-i}\pm 3\sqrt[3]{-i}}{2}\\}\)


jaki wniosek? że łatwiej (a ładniej na pewno ) w tym przypadku było to zrobic z wzorów na pierwiastkowanie (by nie było tych \(\displaystyle{ \sqrt[6]{-i}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-i}}\))
ODPOWIEDZ