Pierwiastek z potęgi liczby zespolonej

Pendulum · Post autor: **Pendulum** » 14 lut 2012, o 00:56

Mógłby mi ktoś powiedzieć, na czym polega haczyk w zadaniu: \(\displaystyle{ \sqrt[ 2 ]{(5-4i)^{4}}}\), bo wątpie aby chodziło o proste podzielenie potęgi przez pierwiastek.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 14 lut 2012, o 00:59

Az cztery pierwiastki powinieneś dostać, więc tak sobie potęg nie możemy skrócić

Pendulum · Post autor: **Pendulum** » 14 lut 2012, o 01:32

Ale treść zadania to "oblicz", więc wciąż nie możemy tak zrobić?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 14 lut 2012, o 08:18

Nie możemy

Qń · Post autor: Qń » 14 lut 2012, o 08:58

Pendulum pisze:na czym polega haczyk w zadaniu: \(\displaystyle{ \sqrt[ 2 ]{(5-4i)^{4}}}\), bo wątpie aby chodziło o proste podzielenie potęgi przez pierwiastek.

Prawie. Pytasz o rozwiązania równania:
\(\displaystyle{ z^2 = (5-4i)^4}\)
czyli:
\(\displaystyle{ z^2-((5-4i)^2)^2=0}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \left( z- (5-4i)^2\right) \left( z + (5-4i)^2\right) =0}\)
skąd już łatwo odczytać rozwiązania.

W ogólności zaś jeśli pytasz o pierwiastki \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z jakiejś liczby, to zawsze wystarczy odgadnąć jeden, a następnie wymnożyć go przez wszystkie pierwiastki \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z jedynki. Tak jak można było też tutaj: odgadujemy jeden pierwiastek \(\displaystyle{ (5-4i)^2}\), a następnie wymnażamy go przez wszystkie pierwiastki drugiego stopnia z jedynki, czyli przez \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\).

Q.

Pendulum · Post autor: **Pendulum** » 14 lut 2012, o 09:59

Ok, dzięki wielkie za pomoc.