Pierwiastek liczby zespolonej

[strykul]

Witajcie, mam problem z wyliczeniem pierwiastków pewnej liczby zespolonej, otóż:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-1+i}}\)

Nie wiem, z której strony to ugryźć... we wzorze ogólnym dostaje \(\displaystyle{ \sqrt[6]{2}}\) na wstępie, bo moduł to pierwiastek kwadratowy z 2, z kolei rozpisując to ze wzoru skróconego mnożenia, zostaję z układem 2 lub 3 równań wielomianowych...

Proszę o pomoc

P.S. Moje obliczenia:

\(\displaystyle{ z_0= \sqrt[6]{2} \cdot \left( \cos \left( \frac{\pi}{12} \right) +i\sin \left( \frac{\pi}{12} \right) \right) ...}\)

LUB

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-1+i}=z ; z=(a+bi)}\)

\(\displaystyle{ (a^3+3a^2bi-3ab^2-ib^3)=-1+i}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a^3-3ab=-1\\3a^2b-b^3=1\\a^2+b^2=\sqrt2 \end{array}\right.}\)
...

Ogólnie przy 3 potędze, gdy moduł jest niewymierny, a nie umiem zgadnąć jakiegokolwiek pierwiastka, to umarł w butach...

[scyth]

Na początek:
\(\displaystyle{ z=-1+i=\sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right)}\)
Zatem pierwiastkami trzeciego stopnia będą:
\(\displaystyle{ z_1 = \sqrt[6]{2} \left( \cos \frac{\frac{3\pi}{4}}{3} + i \sin \frac{\frac{3\pi}{4}}{3} \right) \\
z_2 = \sqrt[6]{2} \left( \cos \frac{\frac{3\pi}{4}+2\pi}{3} + i \sin \frac{\frac{3\pi}{4}+2\pi}{3} \right) \\
z_3 = \sqrt[6]{2} \left( \cos \frac{\frac{3\pi}{4}+4\pi}{3} + i \sin \frac{\frac{3\pi}{4}+4\pi}{3} \right)}\)
Więcej 206126.htm

[strykul]

Aaa ułamki zaatakowały - -' dzięki, źle skróciłem ułamek w kącie...

Ponadto, nie wpadłem na to, że wzoru na pierwszy pierwiastek można użyć do liczenia kolejnych, w zamian za to próbowałem standardowo:
\(\displaystyle{ z_{k}=z_{0}\cdot \left( \cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n} \right)}\)

Dzięki za pomoc