Argument sumy dwoch liczb zespolonych

[rudy20]

Czy jest jakis wzor na \(\displaystyle{ \arg z + w}\) wyrazony za pomoca \(\displaystyle{ \arg z}\) i \(\displaystyle{ \arg w}\) oraz \(\displaystyle{ |z|}\) i \(\displaystyle{ |w|}\)? Nie moge czegos podobnego nigdzie znalezc, czy to sie w ogole da jakos prosto wyrazic?

[Dasio11]

Na pewno da się po chamsku:

\(\displaystyle{ |z+w| = \sqrt{ \left( \mathrm{Re} \; z + \mathrm{Re} \; w \right)^2 + \left( \mathrm{Im} \; z + \mathrm{Im} \; w \right)^2}= \sqrt{ (|z| \cos \arg z + |w| \cos \arg w )^2 + (|z| \sin \arg z + |w| \sin \arg w )^2} = \\ \\
= \sqrt{|z|^2+|w|^2 +2 |z| \cdot |w| (\cos \arg z \cos \arg w + \sin \arg z \sin \arg w)} = \sqrt{|z|^2 + |w|^2 + 2 |z| \cdot |w| (\cos (\arg z - \arg w))}}\)

(ten wynik można też uzyskać stosując twierdzenie cosinusów)
I dalej:

\(\displaystyle{ \arg (z+w) = \varphi \\ \\
\cos \varphi = \frac{\mathrm{Re} (z+w)}{|z+w|}=\frac{|z| \cos \arg z + |w| \cos \arg w}{\sqrt{|z|^2 + |w|^2 + 2 |z| \cdot |w| (\cos (\arg z - \arg w))}} \\ \\ \\
\sin \varphi = \frac{ \mathrm{Im} (z+w)}{|z+w|} = \frac{|z| \sin \arg z + |w| \sin \arg w}{\sqrt{|z|^2 + |w|^2 + 2 |z| \cdot |w| (\cos (\arg z - \arg w))}}.}\)

Teraz pozostaje pobawić się w przypadki i dobrać dla nich odpowiednie funkcje cyklometryczne.

[rudy20]

Wlasnie tak patrzylem z tw. cosinusow ale wyszlo to co wyszlo i myslalem ze to sie moze jakos skroci. Czyli odpowiedz brzmi "nie da sie tego prosto wyrazic"