Potega liczby zespolonej

[mmonek]

Hej mam do rozwiązania zadanie:

Obliczyć: \(\displaystyle{ \left( \sqrt[]{3}+i\right)^{8}}\)

To co zacząłem:

\(\displaystyle{ |Z|= \sqrt{ \sqrt{3}^{2}+1^{2}} = \sqrt{3+1} = 2}\)

\(\displaystyle{ cos \varphi = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

\(\displaystyle{ sin \varphi = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \varphi = ?}\)

I co dalej jak obliczyć \(\displaystyle{ \varphi}\) ? Wiem że z argumentu jakoś aczkolwiek nie wiem jak.
Z góry dzięki za pomoc.

[pedrus]

\(\displaystyle{ |Z|= \sqrt{ \sqrt{3}^{2}+1^{2}} = \sqrt{3+1} = 2

cos \varphi = \frac{ \sqrt{3} }{ 2 }}\)

\(\displaystyle{ sin \varphi = \frac{-1}{ 2} }}\)

Tutaj był błąd ;] No a teraz z tego należy odczytać stopnie ;]

[mmonek]

Kurcze bo źle napisałem.

Tam powinno być raczej: \(\displaystyle{ |Z|= \sqrt{ \sqrt{3}^{2} + i ^{2} }}\)

o ile dobrze myślę, z tego:
\(\displaystyle{ \sqrt{3-1}+ \sqrt{2}}\)

[pedrus]

Bierzemy jedynie to co stoi przy liczbie urojonej więc nie " i " a " 1 " ;]
i wtedy już prościutkie jest;)

[mmonek]

Dobra a masz może dobrą tablicę z której bym mógł to odczytać, niestety nie jestem teraz w domu, a na necie nie mogę znaleźć. :s

[pedrus]

cos dodatni , sinus ujemny więc IV ćwiartka
z tablicy daje nam \(\displaystyle{ 30}\) stopni
Wiec \(\displaystyle{ 360 - 30 = 330}\) ;]

-- 8 lut 2012, o 21:14 --

A co do tablicy odsyłam na stronę :
[ciach]

cale zestawienie ;]

[mmonek]

Dobra zabrałem się za liczenia od nowa, gdyż sinus jednak wychodzi dodatni po tych wszystkich zmianach.

\(\displaystyle{ \left( \sqrt{3}+i \right)^{8}}\)

\(\displaystyle{ Z= \sqrt{3}+i}\)

\(\displaystyle{ \left|Z\right| = \sqrt{ \sqrt{3}^{2}+1 ^{2} }= \sqrt{3+1}= \sqrt{4}=2}\)

\(\displaystyle{ \cos \varphi= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin \varphi= \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin 30^{o}= \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \varphi=\frac{\pi}{6}}\)

\(\displaystyle{ \left( \sqrt{3}+i\right)^{8}= 2^{8} \left( \cos \frac{8\pi}{6}+ i \sin \frac{8\pi}{6} \right)= 2^{8} \left( \cos \frac{\pi}{3}+ i \sin \frac{\pi}{3} \right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}=60^{o}}\)

\(\displaystyle{ \left( \sqrt{3}+i\right)^{8}= 2^{8} \left( \frac{1}{2}+ i \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)= 2^{7} \left( 1+i \sqrt{3} \right)}\)

Sprawdzi ktoś czy jest to dobrze?

Dobra a co w przypadku:
\(\displaystyle{ \left( \sqrt{3}-i\right) ^{8}}\)
\(\displaystyle{ Z= \sqrt{3}-i}\)

i teraz:
\(\displaystyle{ \left|Z\right|= \sqrt{ \sqrt{3}^{2} - 1^{2} }= \sqrt{2}}\)

czy?:
\(\displaystyle{ \left|Z\right|= \sqrt{ \sqrt{3}^{2} +1^{2} }= 2}\)

Bardziej mi się zdaje że raczej \(\displaystyle{ |Z|= 2.}\)