Potęgowanie liczb zespolonych

[giver]

Oblicz \(\displaystyle{ \left( 1+i\right)^n}\)

Moje częściowe rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \left( 1+i\right)^n = \sqrt{2}^n \cdot \left( \cos \frac{n \pi }{4} + i \sin \frac{n \pi }{4} \right)}\)
Wydaje mi się, że powinny być 4 ogóln e rozwiązania, w zależność w której ćwiartce płaszczyzny zespolonej liczba się znajdzie, więc idąc tym tropem:
\(\displaystyle{ 4k=n}\)
\(\displaystyle{ 4k+1=n}\)
\(\displaystyle{ 4k+2=n}\)
\(\displaystyle{ 4k+3=n}\)
Problem już się pojawił dla pierwszej możliwości:
\(\displaystyle{ \cos k \pi =-1 \vee 1}\)

[Vardamir]

Rozwiązanie jest jedno, zależne od n:

\(\displaystyle{ \left( 1+i\right)^n = \sqrt{2}^n \cdot \left( \cos \frac{n \pi }{4} + i \sin \frac{n \pi }{4} \right)}\)

4 rozwiązania byłyby przy pierwiastku 4 stopnia, czyli gdybyś miał rozwiązać:

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{1+i}}\)

[giver]

Takie rozwiązanie nie jest pełne wg. mojego wykładowcy Wspominał właśnie o rozpisaniu dla 4 przypadków.

[ares41]

To sprawdź co będzie, gdy \(\displaystyle{ n}\) jest postaci \(\displaystyle{ 4k+l}\), gdzie \(\displaystyle{ l\in \left\{ 0,1,2,3 \right\}}\)
Chodzi o uproszczenie tego wyrażenia.